1. Construa as tabelas verdade das sentenças (P \vee Q) \rightarrow R e P \vee(Q \rightarrow R). Discuta a importância da posição dos parênteses numa sentença.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Construir a tabela-verdade da sentença (P \vee Q) \rightarrow R.
  • Construir a tabela-verdade da sentença P \vee (Q \rightarrow R).
    Também pede discutir a importância da posição dos parênteses numa sentença.
    Informações dadas (implícitas): há três proposições atômicas \;P,\;Q,\;R\;. Vou listar todas as combinações possíveis de verdade para (P,Q,R) (são 2^3=8 linhas) e calcular os valores intermediários necessários para cada fórmula.

Passo 2

Primeiro, recapitular o significado dos conectivos que vamos usar (isso é importante para a tabela):
  • Disjunção: \;A \vee B\; é verdadeira exatamente quando pelo menos uma das proposições A ou B é verdadeira. Em forma de tabela:
\begin{array}{c c | c} A & B & A \vee B\\\ \hline \text{V} & \text{V} & \text{V}\\\ \text{V} & \text{F} & \text{V}\\\ \text{F} & \text{V} & \text{V}\\\ \text{F} & \text{F} & \text{F} \end{array}
  • Implicação: \;A \rightarrow B\; é falsa apenas quando A é verdadeira e B é falsa; nos outros casos é verdadeira. Tabela:
\begin{array}{c c | c} A & B & A \rightarrow B\\\ \hline \text{V} & \text{V} & \text{V}\\\ \text{V} & \text{F} & \text{F}\\\ \text{F} & \text{V} & \text{V}\\\ \text{F} & \text{F} & \text{V} \end{array}

Passo 3

Método para construir as tabelas: vou listar as 8 combinações de (P,Q,R). Para cada linha calculo primeiro as colunas intermediárias:
  • Para (P \vee Q) \rightarrow R preciso de \;P \vee Q\; e depois da implicação.
  • Para P \vee (Q \rightarrow R) preciso de \;Q \rightarrow R\; e depois da disjunção com P.
    Vou calcular linha a linha de forma organizada.

Passo 4

Montagem das linhas (ordem padrão: P=\text{V},\text{F} e dentro disso Q,R varrendo V/F). Para cada linha mostro o cálculo:
Linha 1: (P,Q,R)=(\text{V},\text{V},\text{V}).
  • \;P \vee Q=\text{V}\vee\text{V}=\text{V}.
  • (P \vee Q)\rightarrow R=\text{V}\rightarrow\text{V}=\text{V}.
  • Q\rightarrow R=\text{V}\rightarrow\text{V}=\text{V}.
  • P \vee (Q\rightarrow R)=\text{V}\vee\text{V}=\text{V}.
Linha 2: (P,Q,R)=(\text{V},\text{V},\text{F}).
  • \;P \vee Q=\text{V}.
  • (P \vee Q)\rightarrow R=\text{V}\rightarrow\text{F}=\text{F}.
  • Q\rightarrow R=\text{V}\rightarrow\text{F}=\text{F}.
  • P \vee (Q\rightarrow R)=\text{V}\vee\text{F}=\text{V}.
Linha 3: (P,Q,R)=(\text{V},\text{F},\text{V}).
  • \;P \vee Q=\text{V}\vee\text{F}=\text{V}.
  • (P \vee Q)\rightarrow R=\text{V}\rightarrow\text{V}=\text{V}.
  • Q\rightarrow R=\text{F}\rightarrow\text{V}=\text{V}.
  • P \vee (Q\rightarrow R)=\text{V}\vee\text{V}=\text{V}.
Linha 4: (P,Q,R)=(\text{V},\text{F},\text{F}).
  • \;P \vee Q=\text{V}.
  • (P \vee Q)\rightarrow R=\text{V}\rightarrow\text{F}=\text{F}.
  • Q\rightarrow R=\text{F}\rightarrow\text{F}=\text{V}.
  • P \vee (Q\rightarrow R)=\text{V}\vee\text{V}=\text{V}.

Passo 5

Continuo com as quatro linhas restantes (onde P=\text{F}):
Linha 5: (P,Q,R)=(\text{F},\text{V},\text{V}).
  • \;P \vee Q=\text{F}\vee\text{V}=\text{V}.
  • (P \vee Q)\rightarrow R=\text{V}\rightarrow\text{V}=\text{V}.
  • Q\rightarrow R=\text{V}\rightarrow\text{V}=\text{V}.
  • P \vee (Q\rightarrow R)=\text{F}\vee\text{V}=\text{V}.
Linha 6: (P,Q,R)=(\text{F},\text{V},\text{F}).
  • \;P \vee Q=\text{V}.
  • (P \vee Q)\rightarrow R=\text{V}\rightarrow\text{F}=\text{F}.
  • Q\rightarrow R=\text{V}\rightarrow\text{F}=\text{F}.
  • P \vee (Q\rightarrow R)=\text{F}\vee\text{F}=\text{F}.
Linha 7: (P,Q,R)=(\text{F},\text{F},\text{V}).
  • \;P \vee Q=\text{F}\vee\text{F}=\text{F}.
  • (P \vee Q)\rightarrow R=\text{F}\rightarrow\text{V}=\text{V}.
  • Q\rightarrow R=\text{F}\rightarrow\text{V}=\text{V}.
  • P \vee (Q\rightarrow R)=\text{F}\vee\text{V}=\text{V}.
Linha 8: (P,Q,R)=(\text{F},\text{F},\text{F}).
  • \;P \vee Q=\text{F}.
  • (P \vee Q)\rightarrow R=\text{F}\rightarrow\text{F}=\text{V}.
  • Q\rightarrow R=\text{F}\rightarrow\text{F}=\text{V}.
  • P \vee (Q\rightarrow R)=\text{F}\vee\text{V}=\text{V}.

Passo 6

Agora que já calculei todas as linhas, faço uma comparação rápida entre as duas fórmulas:
  • Em geral os valores coincidem na maioria das linhas, mas há diferença perceptível nas linhas onde P=\text{V} e R=\text{F}: nessas linhas (P \vee Q)\rightarrow R \text{F} porque a antecedente P\vee Q é verdadeira enquanto R é falsa; já P \vee (Q\rightarrow R) \text{V} porque P é verdadeiro e uma disjunção é verdadeira se uma das partes for verdadeira. Portanto as duas sentenças NÃO são logicamente equivalentes. Isso mostra que a posição dos parênteses (que define a ordem de avaliação) muda o valor lógico final — parenteses importam!

Passo 7

Conclusão didática curta e dica para prova:
  • Parênteses definem a associação dos conectivos; (P \vee Q)\rightarrow R significa "se P ou Q então R". Já P \vee (Q\rightarrow R) significa “ou P é verdade, ou (se Q então R)”. Essas são leituras diferentes e, como vimos, podem ter resultados distintos.
  • Dica prática na prova: sempre coloque parênteses explicitamente quando for escrever fórmulas compostas; nunca confie apenas na precedência implícita, porque implicação e disjunção não são intercambiáveis nem associativas. Forneça a tabela-verdade completa como prova.

Resposta

\begin{array}{c c c \;|\; c \;|\; c} P & Q & R & P \vee Q & (P \vee Q) \rightarrow R\\ \hline \text{V} & \text{V} & \text{V} & \text{V} & \text{V}\\ \text{V} & \text{V} & \text{F} & \text{V} & \text{F}\\ \text{V} & \text{F} & \text{V} & \text{V} & \text{V}\\ \text{V} & \text{F} & \text{F} & \text{V} & \text{F}\\ \text{F} & \text{V} & \text{V} & \text{V} & \text{V}\\ \text{F} & \text{V} & \text{F} & \text{V} & \text{F}\\ \text{F} & \text{F} & \text{V} & \text{F} & \text{V}\\ \text{F} & \text{F} & \text{F} & \text{F} & \text{V} \end{array} \qquad \begin{array}{c c c \;|\; c \;|\; c} P & Q & R & Q \rightarrow R & P \vee (Q \rightarrow R)\\ \hline \text{V} & \text{V} & \text{V} & \text{V} & \text{V}\\ \text{V} & \text{V} & \text{F} & \text{F} & \text{V}\\ \text{V} & \text{F} & \text{V} & \text{V} & \text{V}\\ \text{V} & \text{F} & \text{F} & \text{V} & \text{V}\\ \text{F} & \text{V} & \text{V} & \text{V} & \text{V}\\ \text{F} & \text{V} & \text{F} & \text{F} & \text{F}\\ \text{F} & \text{F} & \text{V} & \text{V} & \text{V}\\ \text{F} & \text{F} & \text{F} & \text{V} & \text{V} \end{array}

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