Construa a tábua da operação de composição de funções em E=\left\{f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4}, f_{5}, f_{6}\right\}, em que:
\left.\begin{array}{lll} f_{1}=\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\\\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right) & f_{2}=\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\\\ 1 & 3 & 2 \end{array}\right) \\\ f_{4}=\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 3 & 1 \end{array}\right) & f_{5}=\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\\\ 3 & 1 & 2 \end{array}\right) & f_{3}=\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\\\ 2 & 1 \\\\ 3 \end{array}\right) \\\\ 3 & 2 & 1 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede: construir a tábua (tabela) da operação de composição de funções no conjunto E=\{f_{1},f_{2},f_{3},f_{4},f_{5},f_{6}\}. Foram dadas as imagens das funções (peguei os valores no enunciado). As funções, interpretadas como permutações de \{1,2,3\}, são:
  • f_{1}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\\\ 1 & 2 & 3\end{pmatrix}.
  • f_{2}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\\\ 1 & 3 & 2\end{pmatrix}.
  • f_{3}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 1 & 3\end{pmatrix}.
  • f_{4}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 3 & 1\end{pmatrix}.
  • f_{5}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\\\ 3 & 1 & 2\end{pmatrix}.
  • f_{6}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\\\ 3 & 2 & 1\end{pmatrix}.
As seis funções formam exatamente as seis permutações de \{1,2,3\}. A tarefa é calcular todas as composições f_{i}\circ f_{j} (aplica-se f_{j} primeiro, depois f_{i}) e organizar numa tabela.

Passo 2

Convém escrever cada f_{i} em notação de ciclos (isso facilita a composição):
  • f_{1}=e (identidade): 1\mapsto1,\;2\mapsto2,\;3\mapsto3.
  • f_{2}=(2\;3): 1\mapsto1,\;2\mapsto3,\;3\mapsto2.
  • f_{3}=(1\;2): 1\mapsto2,\;2\mapsto1,\;3\mapsto3.
  • f_{4}=(1\;2\;3): 1\mapsto2,\;2\mapsto3,\;3\mapsto1.
  • f_{5}=(1\;3\;2): 1\mapsto3,\;2\mapsto1,\;3\mapsto2.
  • f_{6}=(1\;3): 1\mapsto3,\;2\mapsto2,\;3\mapsto1.
Breve lembrança sobre ciclos: um ciclo (a\;b\;c) significa a\mapsto b,\; b\mapsto c,\; c\mapsto a. Um transposição (a\;b) troca a e b e fixa os outros elementos.

Passo 3

Regra de composição: para funções f e g, (f\circ g)(x)=f(g(x)). Ou seja, aplicar g primeiro, depois f. Para permutações de \{1,2,3\} basta calcular as imagens de 1,2,3 por g e em seguida por f; o triplo resultante identifica qual permutação obtivemos.
Exemplo didático (um passo a passo pequeno): calcular f_{2}\circ f_{3}.
  • Primeiro f_{3}: f_{3}(1)=2,\; f_{3}(2)=1,\; f_{3}(3)=3.
  • Depois f_{2} sobre essas imagens: f_{2}(2)=3,\; f_{2}(1)=1,\; f_{2}(3)=2.
  • Logo (f_{2}\circ f_{3})(1)=3,\; (f_{2}\circ f_{3})(2)=1,\; (f_{2}\circ f_{3})(3)=2.
  • O triplo 1\mapsto3,\;2\mapsto1,\;3\mapsto2 corresponde à permutação (1\;3\;2), que é f_{5}.
  • Portanto f_{2}\circ f_{3}=f_{5}.
Agora vamos aplicar o mesmo procedimento sistematicamente para todas as composições.

Passo 4

Composições com f_{1} (identidade) à esquerda:
  • f_{1}\circ f_{1}=f_{1} porque a identidade não muda nada.
  • f_{1}\circ f_{2}=f_{2}.
  • f_{1}\circ f_{3}=f_{3}.
  • f_{1}\circ f_{4}=f_{4}.
  • f_{1}\circ f_{5}=f_{5}.
  • f_{1}\circ f_{6}=f_{6}.
(São diretos: (f_{1}\circ f_{j})(x)=f_{1}(f_{j}(x))=f_{j}(x).)

Passo 5

Composições com f_{2}=(2\;3) à esquerda: para cada x calcular f_{2}(f_{j}(x)).
  • f_{2}\circ f_{1}=f_{2}.
  • f_{2}\circ f_{2}=f_{1} porque (2\;3) ao quadrado é a identidade.
  • f_{2}\circ f_{3}=f_{5} (mostrei o cálculo no Passo 3).
  • f_{2}\circ f_{4}=f_{6}. (Aplicando f_{4} depois f_{2} 1\mapsto3,\;2\mapsto2,\;3\mapsto1 que é f_{6}.)
  • f_{2}\circ f_{5}=f_{3}.
  • f_{2}\circ f_{6}=f_{4}.

Passo 6

Composições com f_{3}=(1\;2) à esquerda:
  • f_{3}\circ f_{1}=f_{3}.
  • f_{3}\circ f_{2}=f_{4}.
  • f_{3}\circ f_{3}=f_{1}.
  • f_{3}\circ f_{4}=f_{2}.
  • f_{3}\circ f_{5}=f_{6}.
  • f_{3}\circ f_{6}=f_{5}.

Passo 7

Composições com f_{4}=(1\;2\;3) à esquerda:
  • f_{4}\circ f_{1}=f_{4}.
  • f_{4}\circ f_{2}=f_{3}.
  • f_{4}\circ f_{3}=f_{6}.
  • f_{4}\circ f_{4}=f_{5} (porque f_{4}^2=(1\;3\;2)=f_{5}).
  • f_{4}\circ f_{5}=f_{1} (inversos).
  • f_{4}\circ f_{6}=f_{2}.

Passo 8

Composições com f_{5}=(1\;3\;2) à esquerda:
  • f_{5}\circ f_{1}=f_{5}.
  • f_{5}\circ f_{2}=f_{6}.
  • f_{5}\circ f_{3}=f_{2}.
  • f_{5}\circ f_{4}=f_{1}.
  • f_{5}\circ f_{5}=f_{4}.
  • f_{5}\circ f_{6}=f_{3}.

Passo 9

Composições com f_{6}=(1\;3) à esquerda:
  • f_{6}\circ f_{1}=f_{6}.
  • f_{6}\circ f_{2}=f_{5}.
  • f_{6}\circ f_{3}=f_{4}.
  • f_{6}\circ f_{4}=f_{3}.
  • f_{6}\circ f_{5}=f_{2}.
  • f_{6}\circ f_{6}=f_{1}.

Resposta

\begin{array}{c|cccccc} \circ & f_{1} & f_{2} & f_{3} & f_{4} & f_{5} & f_{6} \\\ \hline f_{1} & f_{1} & f_{2} & f_{3} & f_{4} & f_{5} & f_{6} \\\ f_{2} & f_{2} & f_{1} & f_{5} & f_{6} & f_{3} & f_{4} \\\ f_{3} & f_{3} & f_{4} & f_{1} & f_{2} & f_{6} & f_{5} \\\ f_{4} & f_{4} & f_{3} & f_{6} & f_{5} & f_{1} & f_{2} \\\ f_{5} & f_{5} & f_{6} & f_{2} & f_{1} & f_{4} & f_{3} \\\ f_{6} & f_{6} & f_{5} & f_{4} & f_{3} & f_{2} & f_{1} \end{array}

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