O enunciado pede: construir a tábua (tabela) da operação de composição de funções no conjunto E=\{f_{1},f_{2},f_{3},f_{4},f_{5},f_{6}\}. Foram dadas as imagens das funções (peguei os valores no enunciado). As funções, interpretadas como permutações de \{1,2,3\}, são:
As seis funções formam exatamente as seis permutações de \{1,2,3\}. A tarefa é calcular todas as composições f_{i}\circ f_{j} (aplica-se f_{j} primeiro, depois f_{i}) e organizar numa tabela.
Passo 2
Convém escrever cada f_{i} em notação de ciclos (isso facilita a composição):
Breve lembrança sobre ciclos: um ciclo (a\;b\;c) significa a\mapsto b,\; b\mapsto c,\; c\mapsto a. Um transposição (a\;b) troca a e b e fixa os outros elementos.
Passo 3
Regra de composição: para funções f e g, (f\circ g)(x)=f(g(x)). Ou seja, aplicar g primeiro, depois f. Para permutações de \{1,2,3\} basta calcular as imagens de 1,2,3 por g e em seguida por f; o triplo resultante identifica qual permutação obtivemos.
Exemplo didático (um passo a passo pequeno): calcular f_{2}\circ f_{3}.
Primeiro f_{3}: f_{3}(1)=2,\; f_{3}(2)=1,\; f_{3}(3)=3.
Depois f_{2} sobre essas imagens: f_{2}(2)=3,\; f_{2}(1)=1,\; f_{2}(3)=2.
Logo (f_{2}\circ f_{3})(1)=3,\; (f_{2}\circ f_{3})(2)=1,\; (f_{2}\circ f_{3})(3)=2.
O triplo 1\mapsto3,\;2\mapsto1,\;3\mapsto2 corresponde à permutação (1\;3\;2), que é f_{5}.
Portanto f_{2}\circ f_{3}=f_{5}.
Agora vamos aplicar o mesmo procedimento sistematicamente para todas as composições.
Passo 4
Composições com f_{1} (identidade) à esquerda:
f_{1}\circ f_{1}=f_{1} porque a identidade não muda nada.