Em cada caso, verifique se a aplicação
é um homomorfismo. Em caso afirmativo, forneça o núcleo
.
e
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Verificar se a aplicação
é homomorfismo, onde , e . - Se for homomorfismo, fornecer o núcleo
. (Aqui é o elemento identidade em , que é .)
Informações dadas:
- Domínio:
(grupo aditivo). - Contradomínio:
(grupo multiplicativo). - Regra:
(interpretação padrão: ).
Passo 2
Definições e critérios que vou usar (explicadinhos):
- Uma aplicação
entre grupos é homomorfismo se, para todos ,
Isto é, a soma no grupo
vira produto no grupo
.
- Além disso, para começar a falar em homomorfismo,
precisa ser uma aplicação bem definida de em : para todo o valor tem de pertencer ao conjunto (aqui a ). Se houver algum com , então não é sequer uma aplicação . - O núcleo (quando
for homomorfismo) é
Passo 3
Verificação de que
é bem definida (teste com um exemplo simples).
- Tome
. - Então
- Mas
não é racional. (Breve prova: se com primos entre si, então implica , escrevendo leva a e então , contradição com primitividade.) - Logo
, portanto . - Conclusão: existe
tal que . Portanto não é uma aplicação de em ; ou seja, não está bem definida com contradomínio .
Passo 4
Mesmo relaxando o contradomínio (por exemplo, considerando
) a propriedade de homomorfismo falha por causa do sinal negativo — é útil ver isso para fixar a ideia.
- Para quaisquer
,
- Por outro lado,
- Assim sempre vale
então
na grande maioria dos casos. Exemplo concreto:
dá
enquanto
. Portanto a igualdade de homomorfismo não é satisfeita.
Passo 5
Conclusão, interpretação e comentário pedagógico:
- Como
não envia todos os racionais para (ex.: ), não é uma aplicação . Logo não é homomorfismo entre os grupos dados. - Mesmo se aceitássemos um contradomínio maior (
), a presença do sinal negativo faz com que a propriedade falhe. - Observação útil para estudo: a aplicação sem o sinal negativo,
, é um homomorfismo de para (pois ). O núcleo de é porque só se . Isso ajuda a entender por que o sinal negativo estraga tudo aqui.
Resposta
Não é homomorfismo.
Núcleo: não se aplica (a aplicação nem sequer é ).
Núcleo: não se aplica (a aplicação nem sequer é