Em cada caso, verifique se a aplicação f: G \rightarrow J é um homomorfismo. Em caso afirmativo, forneça o núcleo \boldsymbol{N}(\boldsymbol{f}).
G=(\mathbb{Q},+), J=\left(\mathbb{Q}^{*}, \cdot\right) e f(x)=-3^{x}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Verificar se a aplicação \,f:G\to J\, é homomorfismo, onde \,G=(\mathbb{Q},+)\,, \,J=(\mathbb{Q}^*,\cdot)\, e \,f(x)=-3^{x}\,.
  • Se for homomorfismo, fornecer o núcleo \,N(f)=\{x\in G \mid f(x)=e_J\}\,. (Aqui e_J é o elemento identidade em J, que é 1.)
Informações dadas:
  • Domínio: \,\mathbb{Q}\, (grupo aditivo).
  • Contradomínio: \,\mathbb{Q}^*=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\, (grupo multiplicativo).
  • Regra: \,f(x)=-3^{x}\, (interpretação padrão: -3^{x}=-(3^{x})).

Passo 2

Definições e critérios que vou usar (explicadinhos):
  • Uma aplicação f:G\to J entre grupos é homomorfismo se, para todos a,b\in G,
f(a+b)=f(a)\cdot f(b).
Isto é, a soma no grupo G vira produto no grupo J.
  • Além disso, para começar a falar em homomorfismo, f precisa ser uma aplicação bem definida de G em J: para todo x\in G o valor f(x) tem de pertencer ao conjunto J (aqui a \mathbb{Q}^*). Se houver algum x\in\mathbb{Q} com f(x)\notin\mathbb{Q}^*, então f não é sequer uma aplicação G\to J.
  • O núcleo (quando f for homomorfismo) é
N(f)=\{x\in G \mid f(x)=1\}.

Passo 3

Verificação de que f é bem definida (teste com um exemplo simples).
  • Tome x=\dfrac{1}{2}\in\mathbb{Q}.
  • Então
f\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = -3^{1/2} = -\sqrt{3}.
  • Mas \sqrt{3} não é racional. (Breve prova: se \sqrt{3}=\dfrac{p}{q} com p,q\in\mathbb{Z} primos entre si, então p^2=3q^2 implica 3\mid p, escrevendo p=3k leva a 9k^2=3q^2 e então 3\mid q, contradição com primitividade.)
  • Logo -\sqrt{3}\notin\mathbb{Q}, portanto -\sqrt{3}\notin\mathbb{Q}^*.
  • Conclusão: existe x\in\mathbb{Q} tal que f(x)\notin\mathbb{Q}^*. Portanto f não é uma aplicação de \mathbb{Q} em \mathbb{Q}^*; ou seja, f não está bem definida com contradomínio \mathbb{Q}^*.

Passo 4

Mesmo relaxando o contradomínio (por exemplo, considerando f:\mathbb{Q}\to\mathbb{R}^*) a propriedade de homomorfismo falha por causa do sinal negativo — é útil ver isso para fixar a ideia.
  • Para quaisquer x,y\in\mathbb{Q},
f(x+y) = -3^{x+y} = -3^{x}\,3^{y}.
  • Por outro lado,
f(x)f(y) = (-3^{x})(-3^{y}) = (+1)\,3^{x+y} = 3^{x+y}.
  • Assim sempre vale
f(x+y) = -\,f(x)f(y),
então f(x+y)\neq f(x)f(y) na grande maioria dos casos. Exemplo concreto: x=y=1 f(2)=-9 enquanto f(1)f(1)=9. Portanto a igualdade de homomorfismo não é satisfeita.

Passo 5

Conclusão, interpretação e comentário pedagógico:
  • Como f não envia todos os racionais para \mathbb{Q}^* (ex.: f(1/2)=-\sqrt{3}\notin\mathbb{Q}^*), f não é uma aplicação \mathbb{Q}\to\mathbb{Q}^*. Logo não é homomorfismo entre os grupos dados.
  • Mesmo se aceitássemos um contradomínio maior ( \mathbb{R}^*), a presença do sinal negativo faz com que a propriedade f(x+y)=f(x)f(y) falhe.
  • Observação útil para estudo: a aplicação sem o sinal negativo, g(x)=3^{x}, é um homomorfismo de (\mathbb{Q},+) para (\mathbb{R}_{>0},\cdot) (pois 3^{x+y}=3^{x}3^{y}). O núcleo de g é \{0\} porque 3^{x}=1 só se x=0. Isso ajuda a entender por que o sinal negativo estraga tudo aqui.

Resposta

Não é homomorfismo.
Núcleo: não se aplica (a aplicação nem sequer é \mathbb{Q}\to\mathbb{Q}^*).

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