Em cada caso, verifique se a aplicação f: G \rightarrow J é um homomorfismo. Em caso afirmativo, forneça o núcleo \boldsymbol{N}(\boldsymbol{f}).
G=(\mathbb{R} \times \mathbb{R},+), J=(\mathbb{R},+) e f(x, y)=3 x-2 y.

Passo 1

O enunciado dá:
  • O grupo G=(\mathbb{R}\times\mathbb{R},+), ou seja, o conjunto dos pares ordenados (x,y) com adição componente a componente.
  • O grupo J=(\mathbb{R},+), o grupo aditivo dos reais.
  • A aplicação f\colon G\to J definida por f(x,y)=3x-2y.
O que é pedido:
  1. Verificar se f é um homomorfismo de grupos (no sentido aditivo).
  2. Se for homomorfismo, determinar o núcleo \boldsymbol{N}(\boldsymbol{f}).

Passo 2

Lembrando a definição (passo-a-passo, sem pular): uma aplicação entre grupos \;f\colon (G,+)\to (J,+)\; é um homomorfismo se, para quaisquer u,v\in G,
f(u+v)=f(u)+f(v).
Aqui u e v são pares em \mathbb{R}\times\mathbb{R}. Vou usar u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2) para trabalhar com símbolos concretos.

Passo 3

Calcular o lado esquerdo f(u+v). A soma em G é componente a componente, então
u+v=(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,\;y_1+y_2).
Aplicando f:
f(u+v)=f(x_1+x_2,\;y_1+y_2)=3(x_1+x_2)-2(y_1+y_2).
Agora distribuo:
3(x_1+x_2)-2(y_1+y_2)=3x_1+3x_2-2y_1-2y_2.

Passo 4

Calcular o lado direito f(u)+f(v):
f(u)+f(v)=\big(3x_1-2y_1\big)+\big(3x_2-2y_2\big)=3x_1-2y_1+3x_2-2y_2.
Comparando com o resultado do Passo 3, são iguais:
f(u+v)=3x_1+3x_2-2y_1-2y_2=f(u)+f(v).
Portanto a igualdade da definição vale para quaisquer u,v. Conclusão: f é um homomorfismo de grupos.
Também é útil checar o comportamento da identidade: f(0,0)=3\cdot 0-2\cdot 0=0, que é a identidade em J — isso confirma coerência com ser homomorfismo.

Passo 5

Agora o núcleo. Por definição, o núcleo de um homomorfismo f é
\boldsymbol{N}(\boldsymbol{f})=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid f(x,y)=0\}.
Aqui isso é o conjunto das soluções da equação
3x-2y=0.
Resolver essa equação: isolando y,
2y=3x \quad\Rightarrow\quad y=\tfrac{3}{2}x.
Uma parametrização conveniente é tomar um parâmetro t\in\mathbb{R} e escrever x=2t, y=3t (isso garante y=\tfrac{3}{2}x). Assim
\boldsymbol{N}(\boldsymbol{f})=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 3x-2y=0\}=\{t(2,3)\mid t\in\mathbb{R}\}.
Observações rápidas e úteis para a prova: esse conjunto é uma reta passando pela origem em \mathbb{R}^2, é um subgrupo (fechado para soma e inverso), e é não trivial (contém vetores além do (0,0)), portanto f não é injetora.

Resposta

Sim, f é homomorfismo.
\boldsymbol{N}(\boldsymbol{f})=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 3x-2y=0\}=\{t(2,3)\mid t\in\mathbb{R}\}

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