Em cada caso, verifique se a aplicação
é um homomorfismo. Em caso afirmativo, forneça o núcleo
.
e
.
Passo 1
O enunciado dá:
- O grupo
, ou seja, o conjunto dos pares ordenados com adição componente a componente. - O grupo
, o grupo aditivo dos reais. - A aplicação
definida por .
O que é pedido:
- Verificar se
é um homomorfismo de grupos (no sentido aditivo). - Se for homomorfismo, determinar o núcleo
.
Passo 2
Lembrando a definição (passo-a-passo, sem pular): uma aplicação entre grupos
é um homomorfismo se, para quaisquer
,
Aqui
e
são pares em
. Vou usar
e
para trabalhar com símbolos concretos.
Passo 3
Calcular o lado esquerdo
. A soma em
é componente a componente, então
Aplicando
:
Agora distribuo:
Passo 4
Calcular o lado direito
:
Comparando com o resultado do Passo 3, são iguais:
Portanto a igualdade da definição vale para quaisquer
. Conclusão:
é um homomorfismo de grupos.
Também é útil checar o comportamento da identidade:
, que é a identidade em
— isso confirma coerência com ser homomorfismo.
Passo 5
Agora o núcleo. Por definição, o núcleo de um homomorfismo
é
Aqui isso é o conjunto das soluções da equação
Resolver essa equação: isolando
,
Uma parametrização conveniente é tomar um parâmetro
e escrever
,
(isso garante
). Assim
Observações rápidas e úteis para a prova: esse conjunto é uma reta passando pela origem em
, é um subgrupo (fechado para soma e inverso), e é não trivial (contém vetores além do
), portanto
não é injetora.
Resposta
Sim,
é homomorfismo.