A construção da ensecadeira para desvio de um rio obedecerá um ritmo de deposição de 10 \mathrm{~m}^{3} de enrocamento por minuto, quando a vazão do rio for 5000 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. Desejando-se reproduzir essas condições em modelo reduzido na escala 1:50 pergunta-se:
(a) Qual deverá ser o ritmo de deposição de material no modelo ?
(b) Qual a vazão correspondente no modelo, em \ell / \mathrm{s} ?
(c ) Qual o tempo de execução da ensecadeira no protótipo se o tempo no modelo for de 20 h ?

Passo 1

O enunciado trata de reproduzir em modelo reduzido (escala linear 1\!:\!50) um processo de ensecadeira em que, no protótipo, se deposita 10, \mathrm{m^3/min} de enrocamento com vazão de 5000, \mathrm{m^3/s}. Pergunta-se
(a) o ritmo de deposição no modelo,
(b) a vazão no modelo em \ell/s,
(c) o tempo no protótipo se no modelo o processo durar 20,h.
O conteúdo usado é a similaridade de Froude, que nos dá as leis de escala para tempo e vazões.

Passo 2

Para similaridade de Froude temos escala linear
L_r = \frac{L_\text{modelo}}{L_\text{protótipo}} = \frac1{50}.ó
A escala de tempo é
T_r = \sqrt{L_r} = \frac1{\sqrt{50}}.
Como vazão (e ritmo de deposição) tem dimensão L^3/T, a lei de escala é
Q_r = \frac{L_r^3}{T_r} = L_r^{3-\tfrac12} = L_r^{5/2} = \frac1{50^{5/2}}.

Passo 3

Aplicando ao ritmo de deposição do protótipo Q_{\mathrm{dep},p}=10, \mathrm{m^3/min}:
Q_{\mathrm{dep},m} =Q_{\mathrm{dep},p}\,L_r^{5/2} =10\cdot\frac1{50^{5/2}} \approx5{,}65\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3/min}.
Em litros por minuto:
5{,}65\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3/min}\times10^3 \approx0{,}565\\ \mathrm{L/min}.

Passo 4

Aplicando à vazão do protótipo Q_p=5000, \mathrm{m^3/s}:
Q_m = 5000\cdot\frac1{50^{5/2}} \approx5000\times5{,}65\times10^{-5} \approx0{,}2827\\ \mathrm{m^3/s}.
Convertendo para \ell/s:
0{,}2827\\ \mathrm{m^3/s}\times10^3 \approx282{,}7\\ \mathrm{L/s}.

Passo 5

Pelo mesmo T_r=1/\sqrt{50}, o tempo no protótipo é
T_p = \frac{T_m}{T_r} = 20\\ \mathrm{h}\times\sqrt{50} \approx20\times7{,}071 \approx141{,}4\\ \mathrm{h}
(o que equivale a cerca de 5 dias e 21{,}4 horas).

Resposta

(a) Q_{\mathrm{dep},m}\approx5{,}65\times10^{-4}, \mathrm{m^3/min} (aprox. 0{,}565, \mathrm{L/min}).
(b) Q_m\approx282{,}7, \mathrm{L/s}.
(c) T_p\approx141{,}4, \mathrm{h} ( \approx 5 dias 21 h).

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