As dimensões lineares de um medidor Venturi são um quinto daquelas do protótipo. O protótipo opera com água a 20^{\circ} \mathrm{C}\left(\rho=998,2 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; \mu=1,005.10^{-3} \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2}\right) e o modelo com água a 95^{\circ} \mathrm{C} ( \rho=961,9 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; \mu=0,299 \cdot 10^{-3} \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2} ). Se o protótipo a velocidade na garganta de 600 mm de diâmetro é de 6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, determinar a vazão necessária no modelo para haver semelhança.

Passo 1

O modelo é geometricamente semelhante ao protótipo com fator de escala linear \lambda = \dfrac{L_{\text{modelo}}}{L_{\text{protótipo}}} = \dfrac{1}{5}ó.
No protótipo a garganta tem diâmetro
D_p = 600\\ \text{mm} = 0{,}6\\ \text{m},
a velocidade de escoamento na garganta é
v_p = 6\\ \text{m/s},
a densidade é
\rho_p = 998{,}2\\ \text{kg/m}^3,
e a viscosidade é
\mu_p = 1{,}005\times10^{-3}\\ \text{N\cdots/m}^2.
No modelo, a água a 95^\circ\text{C} tem
\rho_m = 961{,}9\\ \text{kg/m}^3, \quad \mu_m = 0{,}299\times10^{-3}\\ \text{N\cdots/m}^2.
Para manter semelhança dinâmica no Venturi, igualamos os números de Reynolds:
\mathrm{Re}_p = \mathrm{Re}_m,
onde
\mathrm{Re} = \frac{\rho\,v\,D}{\mu}.

Passo 2

Calcular o diâmetro da garganta do modelo:
D_m = \lambda\,D_p = \frac{1}{5}\times0{,}6 = 0{,}12\\ \text{m}.

Passo 3

Igualando \mathrm{Re}_p e \mathrm{Re}_m:
\frac{\rho_p\,v_p\,D_p}{\mu_p} = \frac{\rho_m\,v_m\,D_m}{\mu_m} \quad\Longrightarrow\quad v_m = v_p\, \frac{\rho_p}{\rho_m}\, \frac{\mu_m}{\mu_p}\, \frac{D_p}{D_m}.
Como D_p/D_m=1/\lambda=5, tem-se
v_m = 6\, \frac{998{,}2}{961{,}9}\, \frac{0{,}299\times10^{-3}}{1{,}005\times10^{-3}}\times5 \approx9{,}26\\ \text{m/s}.

Passo 4

A vazão no modelo é
Q_m = v_m \,A_m,
com
A_m = \frac{\pi D_m^2}{4} = \frac{\pi\,(0{,}12)^2}{4} \approx0{,}01131\\ \text{m}^2.
Logo,
Q_m \approx 9{,}26\times0{,}01131 \approx0{,}105\\ \text{m}^3/\text{s}.

Resposta

A vazão necessária no modelo é aproximadamente
Q_m = 0{,}105\\ \text{m}^3/\text{s}.

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