Na construção de uma ponte de aço, 5 \% de todas as juntas de solda são feitas incorretamente por uma equipe menos experiente. Um inspetor de engenharia civil utiliza um equipamento de ultrassom para testar as soldas. O equipamento detecta uma solda incorreta com 95 \% de precisão. No entanto, ele também indica incorretamente que uma solda boa está com defeito em 10 \% das vezes (falso positivo). O inspetor testa uma junta de solda e o equipamento a classifica como “incorreta”. Qual é a probabilidade de que a solda esteja, de fato, incorreta?

Passo 1

Resumindo, queremos a probabilidade de a solda estar realmente defeituosa dado que o ultrassom indicou “incorreta”. Definimos os eventos:
D: solda defeituosa
G: solda boa
T^+: teste indica solda incorreta
As probabilidades fornecidas são
P(D)=0,05,\quad P(G)=0,95,
P(T^+\mid D)=0,95,\quad P(T^+\mid G)=0,10.
Para encontrar P(D\mid T^+) vamos usar o teorema de Bayes.

Passo 2

Calculamos primeiro a probabilidade total de o teste dar positivo T^+:
P(T^+) = P(T^+\mid D)\,P(D)\;+\;P(T^+\mid G)\,P(G) = 0,95\cdot0,05 \;+\;0,10\cdot0,95 = 0,0475 + 0,095 = 0,1425.

Passo 3

Agora aplicamos o teorema de Bayes para achar P(D\mid T^+):
P(D\mid T^+) = \frac{P(T^+\mid D)\,P(D)}{P(T^+)} = \frac{0,95\cdot0,05}{0,1425} = \frac{0,0475}{0,1425} \approx 0,3333.

Resposta

A probabilidade de a solda estar de fato incorreta é de aproximadamente 33{,}33\%.

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