Na construção de rodovias, é essencial garantir que as curvas do traçado da estrada tenham uma curvatura adequada para a segurança dos veículos. Curvas muito fechadas podem ser perigosas, especialmente em alta velocidade. Os engenheiros usam o conceito de curvatura para projetar curvas suaves e seguras.
Considere que o traçado de uma estrada nova em uma região plana é modelado pela curva plana, em km, dada por:
\alpha(t)=\left(t, t^{3}\right), \quad 0 \leq t \leq 0,2 \mathrm{~km}
Assumindo que a estrada é de classe 0 , o raio mínimo de curvatura é de 570 m de acordo com as Normas para o Projeto das Estradas de Rodagem de 1973. Verifique se o traçado deste trecho da estrada atende às normas.
Passo 1
O enunciado dá o traçado de uma estrada em uma região plana modelado pela curva paramétrica
\alpha(t) = \bigl(t,\;t^3\bigr), \quad 0 \le t \le 0{,}2\text{ km},
e pede para verificar se o raio mínimo de curvatura atende à norma de 570 m (ou seja, 0{,}57 km). Vamos usar a fórmula de curvatura de uma curva plana e depois calcular o raio de curvatura \rho(t)=1/\kappa(t).
Passo 2
Para aplicar a fórmula da curvatura precisamos de \alpha'(t) e \alpha''(t). Derivando componente a componente, obtemos
O raio mínimo de curvatura deste trecho é cerca de 851{,}4 m, que é maior que os 570 m exigidos pela norma. Portanto, o traçado atende às normas de segurança.
Resposta
O traçado atende às normas, pois o raio mínimo de curvatura é aproximadamente 851{,}4 m, superior a 570 m.