• Na construção de rodovias, é essencial garantir que as curvas do traçado da estrada tenham uma curvatura adequada para a segurança dos veículos. Curvas muito fechadas podem ser perigosas, especialmente em alta velocidade. Os engenheiros usam o conceito de curvatura para projetar curvas suaves e seguras.
    Considere que o traçado de uma estrada nova em uma região plana é modelado pela curva plana, em km, dada por:
\alpha(t)=\left(t, t^{3}\right), \quad 0 \leq t \leq 0,2 \mathrm{~km}
Assumindo que a estrada é de classe 0 , o raio mínimo de curvatura é de 570 m de acordo com as Normas para o Projeto das Estradas de Rodagem de 1973. Verifique se o traçado deste trecho da estrada atende às normas.

Passo 1

O enunciado dá o traçado de uma estrada em uma região plana modelado pela curva paramétrica
\alpha(t) = \bigl(t,\;t^3\bigr), \quad 0 \le t \le 0{,}2\text{ km},
e pede para verificar se o raio mínimo de curvatura atende à norma de 570 m (ou seja, 0{,}57 km). Vamos usar a fórmula de curvatura de uma curva plana e depois calcular o raio de curvatura \rho(t)=1/\kappa(t).

Passo 2

Para aplicar a fórmula da curvatura precisamos de \alpha'(t) e \alpha''(t). Derivando componente a componente, obtemos
\alpha'(t) = \bigl(1,\;3t^2\bigr), \quad \alpha''(t) = \bigl(0,\;6t\bigr).

Passo 3

A curvatura de uma curva plana \bigl(x(t),y(t)\bigr) é
\kappa(t) = \frac{\bigl|x'(t)\,y''(t)-y'(t)\,x''(t)\bigr|} {\bigl[x'(t)^2+y'(t)^2\bigr]^{3/2}}.
Substituindo x'(t)=1, y'(t)=3t^2, x''(t)=0, y''(t)=6t, vem
\kappa(t) = \frac{\bigl|1\cdot 6t - 3t^2\cdot 0\bigr|} {\bigl(1 + 9t^4\bigr)^{3/2}} = \frac{6t}{\bigl(1+9t^4\bigr)^{3/2}}.

Passo 4

O raio de curvatura é \rho(t)=1/\kappa(t), logo
\rho(t) = \frac{\bigl(1+9t^4\bigr)^{3/2}}{6t}.
No intervalo 0<t\le0{,}2 km, \rho(t) decresce (pois em t\to0 ela tende a \infty e vai diminuindo). Então o valor mínimo ocorre em t=0{,}2. Calculando
1+9\,(0{,}2)^4 = 1 + 9\cdot0{,}0016 = 1{,}0144,
\bigl(1{,}0144\bigr)^{3/2}\approx 1{,}0217, \quad 6t = 1{,}2,
\rho(0{,}2) \approx \frac{1{,}0217}{1{,}2} \approx 0{,}8514\text{ km} = 851{,}4\text{ m}.

Passo 5

O raio mínimo de curvatura deste trecho é cerca de 851{,}4 m, que é maior que os 570 m exigidos pela norma. Portanto, o traçado atende às normas de segurança.

Resposta

O traçado atende às normas, pois o raio mínimo de curvatura é aproximadamente 851{,}4 m, superior a 570 m.

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