Dada uma curva plana regular de classe C^{1}
\alpha(t)=(x(t), y(t))
mostre que a curvatura de \alpha pode ser obtida pela fórmula
k=\frac{\left|x^{\prime} y^{\prime \prime}-x^{\prime \prime} y^{\prime}\right|}{\left(\left(x^{\prime}\right)^{2}+\left(y^{\prime}\right)^{2}\right)^{3 / 2}}

Passo 1

O enunciado considera uma curva plana regular de classe C^{2} (na verdade precisamos de duas derivadas) \alpha(t)=(x(t),y(t))
e pede para mostrar que a curvatura, definida como o módulo da derivada do versor tangente em relação ao comprimento de arco, vale
k=\frac{\bigl|x'y''-x''y'\bigr|}{\bigl(x'^2+y'^2\bigr)^{3/2}}.

Passo 2

Definimos o versor tangente
T(t)=\frac{\alpha'(t)}{\|\alpha'(t)\|} \quad\text{onde}\quad \|\alpha'(t)\|=\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,.
O comprimento de arco s verifica
\frac{ds}{dt}=\|\alpha'(t)\| \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{ds}=\frac{1}{\|\alpha'(t)\|}\,\frac{d}{dt}.
Pela definição de curvatura,
k=\Bigl\|\frac{dT}{ds}\Bigr\| =\frac{\|T'(t)\|}{\|\alpha'(t)\|}.

Passo 3

Vamos calcular T'(t). Escrevendo v=\|\alpha'(t)\|,
T(t)=\frac{\alpha'(t)}{v} \quad\Longrightarrow\quad T'(t) =\frac{\alpha''(t)\,v-\alpha'(t)\,v'}{v^2}.
Mas
v'=\frac{d}{dt}\|\alpha'\| =\frac{\alpha'(t)\cdot\alpha''(t)}{\|\alpha'(t)\|} =\frac{\alpha'(t)\cdot\alpha''(t)}{v}.
Logo,
T'(t) =\frac{v\,\alpha''(t)-\alpha'(t)\,\frac{\alpha'\!\cdot\!\alpha''}{v}}{v^2} =\frac{v^2\,\alpha''(t)-\alpha'(t)\,(\alpha'\!\cdot\!\alpha'')}{v^3}.

Passo 4

Observamos que o vetor v^2\,\alpha''-\alpha'(\alpha'\!\cdot\!\alpha'') é exatamente a componente de \alpha'' perpendicular a \alpha'. Em \mathbb R^2 isso dá, via produto vetorial em \mathbb R^3,
\bigl\|\alpha'(t)\times\alpha''(t)\bigr\| =\bigl|x'y''-x''y'\bigr|.
E nota-se também que
\bigl\|\alpha'(t)\times\alpha''(t)\bigr\| = v^2\,\|T'(t)\|.
Portanto
\|T'(t)\| =\frac{\bigl|x'y''-x''y'\bigr|}{v^2} \quad\Longrightarrow\quad k=\frac{\|T'(t)\|}{v} =\frac{\bigl|x'y''-x''y'\bigr|}{v^3}.

Resposta

k =\frac{\bigl|x'(t)\,y''(t)-x''(t)\,y'(t)\bigr|} {\bigl(x'(t)^2+y'(t)^2\bigr)^{3/2}}.

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