Construct the transformation matrix that connects the S_{z} diagonal basis to the S_{x} diagonal basis. Show that your result is consistent with the general relation
U=\sum_{r}\left|b^{(r)}\right\rangle\left\langle a^{(r)}\right| .

Passo 1

O enunciado pede para construir a matriz de transformação que conecta a base diagonal de S_{z} à base diagonal de S_{x}, e mostrar que o resultado é consistente com a relação
U=\sum_{r}\left|b^{(r)}\right\rangle\left\langle a^{(r)}\right| .
Informações relevantes dadas (implícitas no problema):
  • Trabalhamos com spin 1/2, portanto cada base tem dois vetores ortonormais. Vou chamar a base diagonal de S_{z} de \{\left|+z\right\rangle,\left|-z\right\rangle\} e a base diagonal de S_{x} de \{\left|+x\right\rangle,\left|-x\right\rangle\}.
  • A matriz de transformação U deve satisfazer U\left|a^{(r)}\right\rangle=\left|b^{(r)}\right\rangle para cada r. Aqui \left|a^{(1)}\right\rangle=\left|+z\right\rangle, \left|a^{(2)}\right\rangle=\left|-z\right\rangle, \left|b^{(1)}\right\rangle=\left|+x\right\rangle, \left|b^{(2)}\right\rangle=\left|-x\right\rangle.

Passo 2

Vamos escrever a representação de S_{x} na base de S_{z}. Para spin 1/2
S_x=\frac{\hbar}{2}\sigma_x, \qquad \sigma_x=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix},
onde a matriz \sigma_x está expressa na base \{\left|+z\right\rangle,\left|-z\right\rangle\}. Os autovetores de S_x (isto é, \left|+x\right\rangle e \left|-x\right\rangle) são os autovetores de \sigma_x com autovalores +1 e -1. Então resolvemos a equação de autovalores
\sigma_x v = \lambda v,
com \lambda=\pm1.]

Passo 3

Resolver \sigma_x v = \lambda v\). Escrevendo \(v=\begin{pmatrix}v_1\\[4pt] v_2\end{pmatrix}\) obtemos o sistema \[\begin{cases} v_2=\lambda v_1,\\[4pt] v_1=\lambda v_2. \end{cases}
Para \lambda=+1\] obtemos \(v_2=v_1, i.e. um autovetor proporcional a \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Para \lambda=-1 obtemos v_2=-v_1, i.e. um autovetor proporcional a \begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Normalizar os autovetores. O vetor \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} tem norma \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}, logo o autovetor normalizado é
\left|+x\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}
(escrita no referente à base \{\left|+z\right\rangle,\left|-z\right\rangle\}). Analogamente,
\left|-x\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Interpretação prática: as componentes acima são os coeficientes de \left|+x\right\rangle e \left|-x\right\rangle quando escritas na base de S_z:
\left|+x\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|+z\right\rangle+\left|-z\right\rangle\right), \qquad \left|-x\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|+z\right\rangle-\left|-z\right\rangle\right).]

Passo 5

Construir a matriz de transformação U. Usando a convenção natural em que as colunas da matriz de U (na base \{\left|+z\right\rangle,\left|-z\right\rangle\}) são as coordenadas dos vetores \left|b^{(r)}\right\rangle (isto é, \left|+x\right\rangle,\left|-x\right\rangle) na base \{\left|+z\right\rangle,\left|-z\right\rangle\}, obtemos
U=\begin{pmatrix} \left|+x\right\rangle_{\text{coords}} & \left|-x\right\rangle_{\text{coords}} \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\[4pt] 1 & -1 \end{pmatrix}.
Explicação rápida: aplicar U a \left|+z\right\rangle (que em coordenadas é \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}) seleciona a primeira coluna e dá \left|+x\right\rangle, etc., portanto U\left|a^{(r)}\right\rangle=\left|b^{(r)}\right\rangle está garantido.]

Passo 6

Verificar que U é unitário e que coincide com a soma de produtos externos pedida. Primeiro, unitaridade:
U^\dagger U=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}\right)^\dagger \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}\right) =\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix} =\mathbb{I}.
Agora a expressão por soma de produtos externos. Escrevendo explicitamente
U=\left|+x\right\rangle\left\langle +z\right|+\left|-x\right\rangle\left\langle -z\right|,
calculemos cada termo na base de S_z. Usando as coordenadas que achamos,
\left|+x\right\rangle\left\langle +z\right| =\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix} =\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix},
\left|-x\right\rangle\left\langle -z\right| =\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1\end{pmatrix} =\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}.
Somando os dois termos:
\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} +\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix} =\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix},
que é exatamente a matriz U encontrada no passo anterior. Assim a relação geral
U=\sum_{r}\left|b^{(r)}\right\rangle\left\langle a^{(r)}\right|
está confirmada neste caso.]

Resposta

U=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}
U=\left|+x\right\rangle\left\langle +z\right|+\left|-x\right\rangle\left\langle -z\right|]

Exercícios relacionados