Construct the transformation matrix that connects the S_{z} diagonal basis to the S_{x} diagonal basis. Show that your result is consistent with the general relation
O enunciado pede para construir a matriz de transformação que conecta a base diagonal de S_{z} à base diagonal de S_{x}, e mostrar que o resultado é consistente com a relação
Informações relevantes dadas (implícitas no problema):
Trabalhamos com spin 1/2, portanto cada base tem dois vetores ortonormais. Vou chamar a base diagonal de S_{z} de \{\left|+z\right\rangle,\left|-z\right\rangle\} e a base diagonal de S_{x} de \{\left|+x\right\rangle,\left|-x\right\rangle\}.
A matriz de transformação U deve satisfazer U\left|a^{(r)}\right\rangle=\left|b^{(r)}\right\rangle para cada r. Aqui \left|a^{(1)}\right\rangle=\left|+z\right\rangle, \left|a^{(2)}\right\rangle=\left|-z\right\rangle, \left|b^{(1)}\right\rangle=\left|+x\right\rangle, \left|b^{(2)}\right\rangle=\left|-x\right\rangle.
Passo 2
Vamos escrever a representação de S_{x} na base de S_{z}. Para spin 1/2
onde a matriz \sigma_x está expressa na base \{\left|+z\right\rangle,\left|-z\right\rangle\}. Os autovetores de S_x (isto é, \left|+x\right\rangle e \left|-x\right\rangle) são os autovetores de \sigma_x com autovalores +1 e -1. Então resolvemos a equação de autovalores
\sigma_x v = \lambda v,
com \lambda=\pm1.]
Passo 3
Resolver \sigma_x v = \lambda v\). Escrevendo \(v=\begin{pmatrix}v_1\\[4pt] v_2\end{pmatrix}\) obtemos o sistema
\[\begin{cases} v_2=\lambda v_1,\\[4pt] v_1=\lambda v_2. \end{cases}
Para \lambda=+1\] obtemos \(v_2=v_1, i.e. um autovetor proporcional a \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Para \lambda=-1 obtemos v_2=-v_1, i.e. um autovetor proporcional a \begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]
Passo 4
Normalizar os autovetores. O vetor \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} tem norma \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}, logo o autovetor normalizado é
Construir a matriz de transformação U. Usando a convenção natural em que as colunas da matriz de U (na base \{\left|+z\right\rangle,\left|-z\right\rangle\}) são as coordenadas dos vetores \left|b^{(r)}\right\rangle (isto é, \left|+x\right\rangle,\left|-x\right\rangle) na base \{\left|+z\right\rangle,\left|-z\right\rangle\}, obtemos
Explicação rápida: aplicar U a \left|+z\right\rangle (que em coordenadas é \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}) seleciona a primeira coluna e dá \left|+x\right\rangle, etc., portanto U\left|a^{(r)}\right\rangle=\left|b^{(r)}\right\rangle está garantido.]
Passo 6
Verificar que U é unitário e que coincide com a soma de produtos externos pedida. Primeiro, unitaridade: