Prove that (1 / \sqrt{2})\left(1+i \sigma_{x}\right) acting on a two-component spinor can be regarded as the matrix representation of the rotation operator about the x-axis by angle -\pi / 2. (The minus sign signifies that the rotation is clockwise.)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede para provar que o operador
    U \equiv \frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(I + i\,\sigma_x\bigr)
    quando age sobre um spinor de duas componentes pode ser encarado como a representação matricial da rotação em torno do eixo x pelo ângulo -\pi/2 (sinal negativo = rotação no sentido horário).
  • Informações relevantes fornecidas (que vamos usar):
    • \sigma_x é a matriz de Pauli \sigma_x=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}.
    • Propriedades importantes das matrizes de Pauli que usaremos: \sigma_x^\dagger=\sigma_x,\qquad \sigma_x^2=I,\qquad\text{autovalores de }\sigma_x=\pm1.]

Passo 2

Motivação e fórmula geral da rotação para spin 1/2.
  • Em mecânica quântica a rotação em torno de um eixo \hat{n} por um ângulo \theta é gerada pelo operador momento angular total. Para spin 1/2, \mathbf{S}=\frac{\hbar}{2}\boldsymbol{\sigma},onde \boldsymbol{\sigma}=(\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z). O operador de rotação (ativo) é R_{\hat{n}}(\theta)=\exp\!\Bigl(-\frac{i\theta}{\hbar}\,\hat{n}\cdot\mathbf{S}\Bigr).
  • Substituindo \mathbf{S}=\frac{\hbar}{2}\boldsymbol{\sigma} obtemos, para rotação em torno do eixo x, R_x(\theta)=\exp\!\Bigl(-i\frac{\theta}{2}\sigma_x\Bigr).Esta é a forma padrão: o gerador da rotação é \sigma_x/2.
(Comentário didático: essa relação vem do fato de que os geradores de rotações satisfazem as regras de Lie do álgebra \mathfrak{su}(2) e, para spin 1/2, os geradores são \sigma_i/2.)

Passo 3

Avaliar a exponencial \exp\!\bigl(-i\frac{\theta}{2}\sigma_x\bigr) usando a série de potências e a propriedade \sigma_x^2=I.
  • Escrever a série da exponencial: \exp\!\Bigl(-i\frac{\theta}{2}\sigma_x\Bigr)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\Bigl(-i\frac{\theta}{2}\sigma_x\Bigr)^n.
  • Como \sigma_x^2=I, potências pares e ímpares simplificam: \Bigl(\sigma_x\Bigr)^{2k}=I,\qquad \Bigl(\sigma_x\Bigr)^{2k+1}=\sigma_x.Assim a série separa em parte par (proporcional a I) e parte ímpar (proporcional a \sigma_x): \exp\!\Bigl(-i\frac{\theta}{2}\sigma_x\Bigr) =\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{(2k)!}\Bigl(-i\frac{\theta}{2}\Bigr)^{2k}I +\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{(2k+1)!}\Bigl(-i\frac{\theta}{2}\Bigr)^{2k+1}\sigma_x.
  • Reconhecendo séries de cosseno e seno: \sum_{k=0}^\infty\frac{1}{(2k)!}\Bigl(-i\frac{\theta}{2}\Bigr)^{2k} =\cos\!\Bigl(\frac{\theta}{2}\Bigr),
\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{(2k+1)!}\Bigl(-i\frac{\theta}{2}\Bigr)^{2k+1} =-i\sin\!\Bigl(\frac{\theta}{2}\Bigr).
  • Portanto a forma fechada é R_x(\theta)=\cos\!\Bigl(\frac{\theta}{2}\Bigr)I - i\sin\!\Bigl(\frac{\theta}{2}\Bigr)\sigma_x.
(Esta fórmula é muito útil: qualquer exponencial de uma matriz com quadrado igual à identidade se reduz a uma combinação de I e da própria matriz, com coeficientes cosseno e seno.)

Passo 4

Aplicar \theta=-\pi/2 e simplificar.
  • Substituindo \theta=-\pi/2 em R_x(\theta)=\cos\!\Bigl(\frac{\theta}{2}\Bigr)I - i\sin\!\Bigl(\frac{\theta}{2}\Bigr)\sigma_x,obtemos R_x\!\Bigl(-\frac{\pi}{2}\Bigr) =\cos\!\Bigl(-\frac{\pi}{4}\Bigr)I - i\sin\!\Bigl(-\frac{\pi}{4}\Bigr)\sigma_x.
  • Usando \cos(-\alpha)=\cos\alpha e \sin(-\alpha)=-\sin\alpha, isto vira R_x\!\Bigl(-\frac{\pi}{2}\Bigr) =\cos\!\Bigl(\frac{\pi}{4}\Bigr)I + i\sin\!\Bigl(\frac{\pi}{4}\Bigr)\sigma_x.
  • E como \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\tfrac{1}{\sqrt{2}}, chegamos a R_x\!\Bigl(-\frac{\pi}{2}\Bigr)=\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(I + i\,\sigma_x\bigr).
Isto demonstra algebraicamente a igualdade pedida: o operador fornecido é exatamente a exponencial do gerador de rotações correspondente ao ângulo -\pi/2 em torno do eixo x.

Passo 5

Verificações úteis (unidade e determinante = 1) e interpretação do sinal negativo.
  • Unitariedade: mostrar U^\dagger U=I. Como \sigma_x^\dagger=\sigma_x,
    U^\dagger=\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(I - i\,\sigma_x\bigr),
    e
    U^\dagger U=\frac{1}{2}\bigl(I - i\sigma_x\bigr)\bigl(I + i\sigma_x\bigr) =\frac{1}{2}\bigl(I + \sigma_x^2\bigr)=\frac{1}{2}(I+I)=I.
    Então U é unitária, como deve ser um operador de rotação quântica.
  • Determinante: os autovalores de \sigma_x são \pm1, então os autovalores de I+i\sigma_x são 1+i e 1-i; o determinante é (1+i)(1-i)=2. Logo
    \det U=\frac{1}{2}\det(I+i\sigma_x)=\frac{1}{2}\cdot 2=1,
    mostrando U\in\mathrm{SU}(2), como esperado para a representação de uma rotação pura.
  • Interpretação do sinal negativo: a convenção R_x(\theta)=\exp(-i\theta\sigma_x/2) vem do gerador -iS_x/\hbar. Assim \theta<0 corresponde a rotação no sentido horário quando se olha ao longo do eixo x na direção positiva — por isso \theta=-\pi/2 é uma rotação de 90^\circ no sentido horário.

Passo 6

Exemplo concreto (opcional mas didático): ação sobre o autovetor de \sigma_z.
  • Tomemos o estado |\uparrow_z\rangle=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}, autovetor de \sigma_z com autovalor +1.
  • Aplicando U=\frac{1}{\sqrt{2}}(I+i\sigma_x): U|\uparrow_z\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]i\end{pmatrix}.
  • Esse spinor é (até normalização) o autovetor de \sigma_y com autovalor +1, porque \sigma_y\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]i\end{pmatrix} =\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]i\end{pmatrix}.Logo o efeito é girar o estado que apontava em +z para o estado que aponta em +y, coerente com uma rotação de -\pi/2 (sentido horário) em torno de x.]

Resposta

R_x\!\Bigl(-\frac{\pi}{2}\Bigr)=\exp\!\Bigl(-i\frac{-\pi/2}{2}\sigma_x\Bigr)=\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(I + i\,\sigma_x\bigr).

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