Prove that
acting on a two-component spinor can be regarded as the matrix representation of the rotation operator about the
-axis by angle
. (The minus sign signifies that the rotation is clockwise.)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
-
Pede para provar que o operadorquando age sobre um spinor de duas componentes pode ser encarado como a representação matricial da rotação em torno do eixo
pelo ângulo (sinal negativo = rotação no sentido horário). -
Informações relevantes fornecidas (que vamos usar):
-
é a matriz de Pauli . - Propriedades importantes das matrizes de Pauli que usaremos:
]
-
Passo 2
Motivação e fórmula geral da rotação para spin
.
- Em mecânica quântica a rotação em torno de um eixo
por um ângulo é gerada pelo operador momento angular total. Para spin , onde . O operador de rotação (ativo) é - Substituindo
obtemos, para rotação em torno do eixo , Esta é a forma padrão: o gerador da rotação é .
(Comentário didático: essa relação vem do fato de que os geradores de rotações satisfazem as regras de Lie do álgebra
e, para spin
, os geradores são
.)
Passo 3
Avaliar a exponencial
usando a série de potências e a propriedade
.
- Escrever a série da exponencial:
- Como
, potências pares e ímpares simplificam: Assim a série separa em parte par (proporcional a ) e parte ímpar (proporcional a ): - Reconhecendo séries de cosseno e seno:
- Portanto a forma fechada é
(Esta fórmula é muito útil: qualquer exponencial de uma matriz com quadrado igual à identidade se reduz a uma combinação de
e da própria matriz, com coeficientes cosseno e seno.)
Passo 4
Aplicar
e simplificar.
- Substituindo
em obtemos - Usando
e , isto vira - E como
, chegamos a
Isto demonstra algebraicamente a igualdade pedida: o operador fornecido é exatamente a exponencial do gerador de rotações correspondente ao ângulo
em torno do eixo
.
Passo 5
Verificações úteis (unidade e determinante = 1) e interpretação do sinal negativo.
-
Unitariedade: mostrar
. Como , eEntãoé unitária, como deve ser um operador de rotação quântica. -
Determinante: os autovalores de
são , então os autovalores de são e ; o determinante é . Logo mostrando, como esperado para a representação de uma rotação pura. -
Interpretação do sinal negativo: a convenção
vem do gerador . Assim corresponde a rotação no sentido horário quando se olha ao longo do eixo na direção positiva — por isso é uma rotação de no sentido horário.
Passo 6
Exemplo concreto (opcional mas didático): ação sobre o autovetor de
.
- Tomemos o estado
, autovetor de com autovalor . - Aplicando
: - Esse spinor é (até normalização) o autovetor de
com autovalor , porque Logo o efeito é girar o estado que apontava em para o estado que aponta em , coerente com uma rotação de (sentido horário) em torno de .]