Estimate the rough order of magnitude of the length of time that an ice pick can be balanced on its point if the only limitation is that set by the Heisenberg uncertainty principle. Assume that the point is sharp and that the point and the surface on which it rests are hard. You may make approximations which do not alter the general order of magnitude of the result. Assume reasonable values for the dimensions and weight of the ice pick. Obtain an approximate numerical result and express it in seconds.
Passo 1
Vou listar claramente o que o problema pede e quais simplificações/evidências vamos usar (sem resolver ainda).
O problema pede uma estimativa da ordem de grandeza do tempo que um pick de gelo pode ficar apoiado de ponta se a única limitação for a imposta pelo princípio da incerteza de Heisenberg. Resultado final em segundos.
Informações que vamos assumir (valores razoáveis e aproximações):
O pick será modelado como uma haste rígida, com comprimento típico L e massa típica m.
O apoio é um ponto ideal e a ponta e a superfície são duras (logo nenhum amortecimento por deformação importante).
O equilíbrio é instável (haste apoiada na ponta, como um pêndulo invertido) e para pequenos deslocamentos angulares \theta a equação linearizada vale.
A incerteza quântica relevante é a relação entre incerteza angular \Delta\theta e incerteza do momento angular \Delta L, dada por Heisenberg.
O que vou calcular:
A taxa de crescimento exponencial das pequenas perturbações (\lambda) do pêndulo invertido.
A menor amplitude inicial possível compatível com \Delta\theta\,\Delta L \gtrsim \hbar/2.
O tempo necessário para essa amplitude crescer até um ângulo macroscópico (ordem de 1 rad), dando uma estimativa do tempo de equilíbrio.
Passo 2
Modelo físico do pick como pêndulo invertido e derivação da taxa de instabilidade \lambda.
Para pequenos \theta a equação do movimento para um pêndulo invertido (torque devido ao peso linearizado) é:
I\,\ddot\theta = +m g d\,\theta,
onde:
I é o momento de inércia do pick em relação ao ponto de apoio,
m é a massa total,
g é a aceleração da gravidade,
d é a distância do ponto de apoio ao centro de massa (para uma haste uniforme d=L/2).
A presença do sinal + mostra instabilidade (solução exponencial). Escrevendo a equação como \ddot\theta = \lambda^2 \theta obtemos
\lambda = \sqrt{\frac{m g d}{I}}.
Para uma haste uniforme de comprimento L com pivot na extremidade I=(1/3)mL^2 e d=L/2. Substituindo:
\lambda = \sqrt{\frac{m g (L/2)}{(1/3)mL^2}} = \sqrt{\frac{3g}{2L}}.
Observação didática: note que a massa m cancela — a taxa de crescimento depende principalmente do comprimento L (geometria) e de g.
Passo 3
Princípio da incerteza e relação entre \Delta L e incerteza da velocidade angular.
O princípio de Heisenberg para conjugados apropriados dá, na forma útil aqui,
\Delta\theta\,\Delta L \gtrsim \frac{\hbar}{2},
onde \hbar é a constante reduzida de Planck.
O momento angular está relacionado à velocidade angular por L=I\dot\theta. Assim uma incerteza \Delta L implica uma incerteza na velocidade angular \Delta\dot\theta dada por
\Delta\dot\theta = \frac{\Delta L}{I}.
Para o sistema linear instável, a solução generalizada (ignorar o ramo decrescente) tem comportamento do tipo \theta(t)\sim (\theta_0 + \dot\theta_0/\lambda)\,e^{\lambda t}. Assim uma estimativa razoável da amplitude inicial efetiva que cresce é
Interpretação didática: a melhor que a mecânica quântica permite é reduzir simultaneamente \Delta\theta e \Delta L apenas até esse limite; isso define a menor “semente” de instabilidade.
Passo 5
Tempo para a amplitude crescer até um ângulo macroscópico (ordem de 1 rad).
Se a amplitude cresce como A(t)\approx A_{0,\min} e^{\lambda t}, o tempo para atingir \theta_f (escolhemos \theta_f\sim 1 rad como critério de “cair”) é aproximadamente
t \approx \frac{1}{\lambda}\ln\!\left(\frac{\theta_f}{A_{0,\min}}\right).
Substituindo A_{0,\min}:
t \approx \frac{1}{\lambda}\ln\!\left(\frac{\theta_f}{\sqrt{\dfrac{2\hbar}{I\lambda}}}\right) = \frac{1}{\lambda}\left[\ln\theta_f - \tfrac{1}{2}\ln\!\left(\frac{2\hbar}{I\lambda}\right)\right].
Para estimativa de ordem de grandeza tomamos \theta_f\sim 1 (logo \ln\theta_f\sim 0), o que simplifica para
t \sim \frac{1}{\lambda}\,\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{I\lambda}{2\hbar}\right)
ou, removendo o factor 2 dentro do log como ordem de grandeza,
t \sim \frac{1}{\lambda}\ln\!\left(\sqrt{\frac{I\lambda}{\hbar}}\right) \sim \frac{1}{\lambda}\ln\!\left(\frac{\sqrt{I\lambda}}{\sqrt{\hbar}}\right).
Observação: o log é muito mais sensível aos expoentes grandes do que ao prefator 1/\lambda, então a ordem de grandeza do tempo virá principalmente do log do quociente I\lambda/\hbar.
Passo 6
Escolha de valores numéricos razoáveis para um ice pick e cálculo numérico passo a passo.
Valores razoáveis assumidos:
Comprimento total: L=0,30\\ \text{m} (30 cm).
Massa: m=0,20\\ \text{kg} (200 g, pick metálico com cabo).
Gravidade: g=9,8\\ \text{m/s}^2.
Constante reduzida de Planck: \hbar=1,05\times10^{-34}\\ \text{J s}.
Momento de inércia (haste uniforme pivotada na ponta):
t \sim \frac{1}{\lambda}\ln\!\left(\sqrt{\frac{I\lambda}{\hbar}}\right) \approx\frac{1}{7,0}\cdot37,5\approx5,4\\ \text{s}.
Passo 7
Interpretação e dependência do resultado; sensibilidade às escolhas.
O resultado t\sim 5\\ \text{s} é uma estimativa de ordem de grandeza. Se mudarmos um pouco L ou m (por exemplo L=0,20–0,40\\ \text{m} ou m=0,1–0,5\\ \text{kg}) a \lambda e I mudam, mas o fator dominante é o log de \sqrt{I\lambda/\hbar}, que varia lentamente. Logo o tempo típico permanece na mesma casa de grandeza (alguns segundos).
Comentário físico: esse tempo é o limite teórico mais otimista dado apenas por flutuações quânticas. Na prática, ruído térmico, correntes de ar, microvibrações da mesa e imperfeições tornariam o equilíbrio muito mais curto (centésimos de segundo ou segundos, dependendo das condições). O feito notável é que o limite quântico não dá um tempo astronomicamente pequeno nem gigantesco — no modelo simples fica na casa dos segundos.