Determine uma base ortonormal de:
W=\{(x, y, z) ; x+y-z=0\} no espa, co euclidiano \mathrm{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede uma base ortonormal de
W = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x+y-z=0\}
no espaço euclidiano \mathbb{R}^3. Trata-se de encontrar dois vetores em W que sejam ortogonais e de norma unitária, usando o produto interno canônico e o processo de Gram–Schmidt.

Passo 2

Escolhemos dois vetores independentes que satisfaçam a condição x+y-z=0. Por exemplo,
v_1 = (1,-1,0),\quad v_2 = (1,1,2).
De fato, em v_1 temos 1+(-1)-0=0 e em v_2 temos 1+1-2=0, e v_1,v_2 são linearmente independentes.

Passo 3

Normalizamos v_1. Primeiro calculamos sua norma:
\|v_1\| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{2}.
Então
u_1 = \frac{v_1}{\|v_1\|} = \frac{1}{\sqrt{2}}\,(1,-1,0).

Passo 4

Verificamos que v_2 já é ortogonal a u_1:
\langle v_2, u_1\rangle = \frac{1\cdot1 + 1\cdot(-1) + 2\cdot0}{\sqrt{2}} = 0.
Basta então normalizar v_2. Calculamos
\|v_2\| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{6},
e definimos
u_2 = \frac{v_2}{\|v_2\|} = \frac{1}{\sqrt{6}}\,(1,1,2).

Resposta

\displaystyle \Bigl\{\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0),\;\frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,2)\Bigr\} é uma base ortonormal de W.

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