Para construir uma casa, são realizadas algumas etapas, sendo uma delas a construção do telhado. Durante a construção do telhado, foram colocadas as telhas, sem a devida fixação. Antes de fixar o telhado, aconteceu um vendaval com ventos de até 108 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Considere a densidade do ar 1,2 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, e desconsidere a espessura das telhas. A área utilizada para colocar as telhas foi de 100 \mathrm{~m}^{2}. Despreze a resistência do ar e use a aceleração de queda livre igual a 9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Qual é a menor massa do telhado para as telhas năo voarem? ( \mathbf{2 , 0} pontos)

Passo 1

O enunciado pede: “Qual é a menor massa do telhado para as telhas não voarem?”
Informações dadas no enunciado (peguei estes dados do enunciado):
  • velocidade máxima do vento: \,108\\ \mathrm{km/h}\,;
  • densidade do ar: \,\rho = 1,2\\ \mathrm{kg/m^{3}}\,;
  • área coberta pelas telhas: \,A = 100\\ \mathrm{m^{2}}\,;
  • desprezar espessura das telhas;
  • desprezar resistência do ar (interpreto como desprezar forças adicionais de arrasto durante queda; usaremos a pressão dinâmica do vento para estimar a força de levantamento);
  • aceleração da gravidade: \,g = 9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}\,.
O que precisamos encontrar: a menor massa m tal que o peso do telhado ( m g) seja suficiente para equilibrar a força do vento que tende a levantá‑lo.

Passo 2

Primeiro convertemos a velocidade do vento para o SI (m/s). A conversão é
1\\ \mathrm{km/h} = \frac{1000}{3600}\\ \mathrm{m/s} = \frac{1}{3,6}\\ \mathrm{m/s}.
Portanto,
v = 108\\ \mathrm{km/h} = 108\cdot\frac{1}{3,6}\\ \mathrm{m/s} = 30\\ \mathrm{m/s}.
(Olha que bom: dá um número redondo, 30\\ \mathrm{m/s}.)

Passo 3

Agora precisamos estimar a pressão exercida pelo vento sobre as telhas. Um conceito usado para isso é a pressão dinâmica (ou pressão de impacto) do fluido em movimento, dada pela fórmula
q = \tfrac{1}{2}\,\rho\,v^{2}.
Explicando cada símbolo:
  • \,q\, é a pressão dinâmica em pascal ( \mathrm{Pa}=\mathrm{N/m^{2}});
  • \,\rho\, é a densidade do fluido (aqui o ar), em \mathrm{kg/m^{3}};
  • \,v\, é a velocidade relativa do vento em \mathrm{m/s}.
A ideia física (intuitiva): o vento com velocidade v carrega energia cinética; quando esbarra numa superfície ele gera uma pressão típica proporcional a \rho v^{2}. Estamos usando essa expressão como estimativa da pressão máxima que pode levantar as telhas (é uma aproximação comum em exercícios elementares — em situações reais haveria coeficientes aerodinâmicos e detalhes de sucção, mas o enunciado pede uma estimativa simples).

Passo 4

Calculamos a pressão dinâmica com os valores conhecidos:
q = \tfrac{1}{2}\cdot\rho\cdot v^{2} = \tfrac{1}{2}\cdot 1,2\cdot 30^{2}.
Primeiro 30^{2}=900. Então
q = 0,5\cdot 1,2\cdot 900 = 0,6\cdot 900 = 540\\ \mathrm{Pa}.

Passo 5

A força total que o vento exerce sobre a área A é a pressão vezes a área:
F = q\cdot A = 540\\ \mathrm{Pa}\cdot 100\\ \mathrm{m^{2}} = 54000\\ \mathrm{N}.
Interpretação: 54000\\ \mathrm{N} é a ordem de grandeza da força que tende a levantar o conjunto de telhas.

Passo 6

Para que as telhas não voem, o peso do telhado (força gravitacional para baixo) precisa ser pelo menos igual à força do vento para cima. O peso é P = m g. Portanto a condição de equilíbrio é
m g \ge F.
A menor massa que satisfaz isso (caso limite) é
m = \frac{F}{g}.
Aqui \,m\, é a massa em kg, \,F\, é a força em N e \,g\, é a aceleração da gravidade em \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 7

Substituindo os valores:
m = \frac{54000}{9,8}.
Agora dividimos: 54000\div 9,8 \approx 5510{,}2040816. Assim
m \approx 5510{,}2\\ \mathrm{kg}.
Significado prático: a massa mínima calculada é \approx 5510{,}2\\ \mathrm{kg}. Em problemas reais você arredondaria para cima por segurança (por exemplo, 5511\\ \mathrm{kg} ou usarão um fator de segurança maior porque nossa estimativa ignorou coeficientes aerodinâmicos, formas, fixações etc.). Mas matematicamente o menor valor calculado é \approx 5510{,}2\\ \mathrm{kg}.

Resposta

5510{,}2\\ \mathrm{kg}

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