Seja S a superfície dada pelo plano 2 x+ 3 y+z=6, no primeiro octante, parametrizada por r(u, v)=(u, v, 6-2 u-3 v), com 0 \leq u \leq 3 e 0 \leq v \leq 2-\frac{2 u}{3}. O valor da integral de superfície da função escalar f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} sobre S está assinalado em: { }^{\Delta} ff.ds
(a) 13
(b) 15
(c) 18
(d) 21
(e) Nenhuma das anteriores
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral de superfície da função escalar f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} sobre a superfície S dada pelo plano 2x+3y+z=6 no primeiro octante, parametrizada por
r(u,v)=(u,v,6-2u-3v),
com as restrições 0\le u\le 3 e 0\le v\le 2-\tfrac{2u}{3}.
As informações relevantes que temos são:
\begin{aligned} &\text{Parametrização: } r(u,v)=(u,v,6-2u-3v),\\\ &\text{Domínio no plano }(u,v):\\\ 0\le u\le 3,\\\ 0\le v\le 2-\tfrac{2u}{3},\\\ &\text{Função a integrar sobre a superfície: } f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}. \end{aligned}
A integral de superfície de uma função escalar sobre uma superfície parametrizada é a quantidade pedida (não confundir com integral de superfície de campo vetorial).
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicando bem): se r(u,v) parametriza uma superfície e f(x,y,z) é função escalar, então a integral de superfície é
onde r_u=\dfrac{\partial r}{\partial u} e r_v=\dfrac{\partial r}{\partial v} são as derivadas parciais da parametrização e \|\cdot\| indica norma do vetor. Aqui D é o domínio dos parâmetros (u,v) dado no enunciado. Essa fórmula vem da ideia de aproximar a superfície por pequenos paralelogramos cuja área é \|r_u\times r_v\|\,du\,dv.
(Observação intuitiva: como o plano é um gráfico z=6-2x-3y, a fórmula alternativa dS=\sqrt{1+z_x^{2}+z_y^{2}}\,dx\,dy dá o mesmo, pois z_x=-2,\\ z_y=-3.)
Passo 5
Substituímos f na parametrização: com x=u,\\ y=v,\\ z=6-2u-3v,