Seja S a superfície dada pelo plano 2 x+ 3 y+z=6, no primeiro octante, parametrizada por r(u, v)=(u, v, 6-2 u-3 v), com 0 \leq u \leq 3 e 0 \leq v \leq 2-\frac{2 u}{3}. O valor da integral de superfície da função escalar f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} sobre S está assinalado em: { }^{\Delta} ff.ds
(a) 13
(b) 15
(c) 18
(d) 21
(e) Nenhuma das anteriores

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral de superfície da função escalar f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} sobre a superfície S dada pelo plano 2x+3y+z=6 no primeiro octante, parametrizada por
r(u,v)=(u,v,6-2u-3v),
com as restrições 0\le u\le 3 e 0\le v\le 2-\tfrac{2u}{3}.
As informações relevantes que temos são:
\begin{aligned} &\text{Parametrização: } r(u,v)=(u,v,6-2u-3v),\\\ &\text{Domínio no plano }(u,v):\\\ 0\le u\le 3,\\\ 0\le v\le 2-\tfrac{2u}{3},\\\ &\text{Função a integrar sobre a superfície: } f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}. \end{aligned}çãíçãí
A integral de superfície de uma função escalar sobre uma superfície parametrizada é a quantidade pedida (não confundir com integral de superfície de campo vetorial).

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicando bem): se r(u,v) parametriza uma superfície e f(x,y,z) é função escalar, então a integral de superfície é
\iint_{S} f\,dS = \iint_{D} f\big(r(u,v)\big)\,\big\|r_u\times r_v\big\|\,du\,dv,
onde r_u=\dfrac{\partial r}{\partial u} e r_v=\dfrac{\partial r}{\partial v} são as derivadas parciais da parametrização e \|\cdot\| indica norma do vetor. Aqui D é o domínio dos parâmetros (u,v) dado no enunciado. Essa fórmula vem da ideia de aproximar a superfície por pequenos paralelogramos cuja área é \|r_u\times r_v\|\,du\,dv.

Passo 3

Calculemos r_u e r_v:
r_u=(\tfrac{\partial}{\partial u}u,\\ \tfrac{\partial}{\partial u}v,\\ \tfrac{\partial}{\partial u}(6-2u-3v))=(1,0,-2),
r_v=(\tfrac{\partial}{\partial v}u,\\ \tfrac{\partial}{\partial v}v,\\ \tfrac{\partial}{\partial v}(6-2u-3v))=(0,1,-3).
Agora o produto vetorial r_u\times r_v. Fazendo pelo determinante:
r_u\times r_v=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 1 & 0 & -2\\[4pt] 0 & 1 & -3 \end{vmatrix} =(0\cdot(-3)-(-2)\cdot1)\,\mathbf{i}-\big(1\cdot(-3)-(-2)\cdot0\big)\,\mathbf{j}+(1\cdot1-0\cdot0)\,\mathbf{k}.
Então
r_u\times r_v=(2,\,3,\,1).]

Passo 4

Norma do vetor normal:
\big\|r_u\times r_v\big\|=\sqrt{2^{2}+3^{2}+1^{2}}=\sqrt{4+9+1}=\sqrt{14}.
Portanto o elemento de área é constante:
dS=\sqrt{14}\,du\,dv.
(Observação intuitiva: como o plano é um gráfico z=6-2x-3y, a fórmula alternativa dS=\sqrt{1+z_x^{2}+z_y^{2}}\,dx\,dy dá o mesmo, pois z_x=-2,\\ z_y=-3.)

Passo 5

Substituímos f na parametrização: com x=u,\\ y=v,\\ z=6-2u-3v,
\begin{aligned} f\big(r(u,v)\big) &=u^{2}+v^{2}+(6-2u-3v)^{2}. \end{aligned}
Vamos expandir o quadrado passo a passo:
(6-2u-3v)^{2}=36+4u^{2}+9v^{2}-24u-36v+12uv.
Somando com u^{2}+v^{2} obtemos
f\big(r(u,v)\big)=5u^{2}+10v^{2}+12uv-24u-36v+36.

Passo 6

Montamos a integral dupla sobre o domínio D:
\iint_{S} f\,dS=\sqrt{14}\iint_{D}\big(5u^{2}+10v^{2}+12uv-24u-36v+36\big)\,dv\,du,
com 0\le u\le 3 e 0\le v\le 2-\tfrac{2u}{3}. Vamos integrar primeiro em v (mais simples), depois em u.

Passo 7

Integramos em v de 0 a V(u)=2-\tfrac{2u}{3}. Integrais term a termo:
\begin{aligned} \int_{0}^{V} 5u^{2}\,dv &=5u^{2}V,\\[4pt] \int_{0}^{V} 10v^{2}\,dv &=\dfrac{10}{3}V^{3},\\[4pt] \int_{0}^{V} 12uv\,dv &=6uV^{2},\\[4pt] \int_{0}^{V} (-24u)\,dv &=-24uV,\\[4pt] \int_{0}^{V} (-36v)\,dv &=-18V^{2},\\[4pt] \int_{0}^{V} 36\,dv &=36V. \end{aligned}
Somando:
K(u)=\int_{0}^{V}\big(\cdots\big)\,dv=\dfrac{10}{3}V^{3}+6(u-3)V^{2}+V(5u^{2}-24u+36),
onde V=2-\tfrac{2u}{3}.]

Passo 8

Agora substituímos V=2-\tfrac{2u}{3} e simplificamos (fiz as contas de forma organizada; aqui mostro o resultado polinomial em u):
K(u)=\dfrac{80}{3}-\dfrac{80}{3}u+\dfrac{98}{9}u^{2}-\dfrac{134}{81}u^{3}.
Integramos K(u) em u de 0 a 3:
\begin{aligned} \int_{0}^{3}K(u)\,du &=\left[\dfrac{80}{3}u-\dfrac{40}{3}u^{2}+\dfrac{98}{27}u^{3}-\dfrac{67}{162}u^{4}\right]_{0}^{3}. \end{aligned}
Avaliar em u=3:
\begin{aligned} &\dfrac{80}{3}\cdot 3-\dfrac{40}{3}\cdot 9+\dfrac{98}{27}\cdot 27-\dfrac{67}{162}\cdot 81\\[4pt] &=80-120+98-\dfrac{67}{2}= \dfrac{49}{2}. \end{aligned}
Logo a integral dupla no plano vale J=\dfrac{49}{2}.]

Passo 9

Voltando ao integral de superfície:
\iint_{S} f\,dS=\sqrt{14}\cdot J=\sqrt{14}\cdot \dfrac{49}{2}=\dfrac{49}{2}\sqrt{14}.
Como \dfrac{49}{2}\sqrt{14}\approx 91{,}71, e as alternativas (a)–(d) são os números 13,15,18,21, nenhuma coincide com o valor exato encontrado.

Resposta

(e) Nenhuma das anteriores

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