Qual a potência (em CV) de uma bomba para vencer um recalque de 20 m de altura? Considere a bomba com rendimento de 85 \%, a densidade da água de 1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, a aceleração da gravidade 9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, a vazão média de 2400 \mathrm{~L} / \mathrm{h}, e 1 \mathrm{CV}=736 \mathrm{~W}. ( 2,0 pontos)

Passo 1

O enunciado pede: “Qual a potência (em CV) de uma bomba para vencer um recalque de 20 m de altura?”\n
Informações dadas (vou listar todas, com unidades):\n
  • Altura de recalque: H=20\\ \mathrm{m}\n
  • Rendimento da bomba: \eta=85\% = 0,85\n
  • Densidade da água: \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}\n
  • Aceleração da gravidade: g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}\n
  • Vazão média: Q=2400\\ \mathrm{L/h}\n
  • Conversão: 1\\ \mathrm{CV}=736\\ \mathrm{W}\n

Passo 2

Primeiro passo prático: converter a vazão Q para unidades do SI, ou seja, \mathrm{m^{3}/s}.\n
Raciocínio e operações:\n
  • 1\\ \mathrm{m^{3}}=1000\\ \mathrm{L}, então 2400\\ \mathrm{L/h} = \dfrac{2400}{1000}\\ \mathrm{m^{3}/h} = 2,4\\ \mathrm{m^{3}/h}.\n
  • Existem 3600\\ \mathrm{s} em 1\\ \mathrm{h}, então para passar de \mathrm{m^{3}/h} para \mathrm{m^{3}/s} dividimos por 3600:\n
Q = \dfrac{2,4}{3600}\\ \mathrm{m^{3}/s} = \dfrac{1}{1500}\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Em forma decimal isso é Q \approx 0,000\,666\,\mathrm{m^{3}/s}, mas a fração \dfrac{1}{1500} é mais limpa para contas exatas.

Passo 3

Agora a fórmula que relaciona vazão, altura e potência útil (potência hidráulica) que precisa ser fornecida ao fluido é:\n
P_{\text{hid}} = \rho \, g \, Q \, H.\n
Explicando cada símbolo (para ficar bem claro):\n
  • P_{\text{hid}} é a potência hidráulica entregue à coluna de água (em watts, \mathrm{W}).\n
  • \rho é a densidade do fluido ( \mathrm{kg/m^{3}}).\n
  • g é a aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^{2}}).\n
  • Q é a vazão volumétrica ( \mathrm{m^{3}/s}).\n
  • H é a altura de recalque ( \mathrm{m}).\n
    A ideia física: potência é trabalho por unidade de tempo; elevar um volume de água significa aumentar sua energia potencial gravitacional, e a taxa dessa energia é dada por \rho g Q H.

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula para obter a potência hidráulica necessária:\n
P_{\text{hid}} = 1000\cdot 9{,}8 \cdot \dfrac{1}{1500}\cdot 20\\ \mathrm{W}.\n
Faço as multiplicações em etapas para ficar claro:\n
  • 1000\cdot 20 = 20000.\n
  • 20000\cdot 9{,}8 = 196000.\n
  • Agora dividir por 1500: \dfrac{196000}{1500} = 130{,}666\ldots\n
    Portanto\n
P_{\text{hid}} \approx 130{,}667\\ \mathrm{W}.

Passo 5

A bomba não é perfeita: seu rendimento \eta=0,85 significa que só 85\% da potência fornecida ao eixo vira potência hidráulica. Assim a potência de eixo (ou elétrica) mínima que precisamos fornecer à bomba é\n
P_{\text{in}} = \dfrac{P_{\text{hid}}}{\eta}.\n
Substituindo os valores:\n
P_{\text{in}} = \dfrac{130{,}666\ldots}{0{,}85} \approx 153{,}725\\ \mathrm{W}.

Passo 6

Finalmente convertemos a potência obtida em watts para cavalos-vapor (CV) usando 1\\ \mathrm{CV}=736\\ \mathrm{W}. A potência em CV é\n
P_{\text{CV}} = \dfrac{P_{\text{in}}}{736} = \dfrac{153{,}725\ldots}{736} \approx 0{,}2089\\ \mathrm{CV}.\n
Arredondando de forma prática para duas casas decimais (útil para especificar um motor), temos P_{\text{CV}}\approx 0{,}21\\ \mathrm{CV}.\n
Dica amiga: na prática industrial você escolheria um motor com potência comercial um pouco maior (por exemplo 0{,}25 ou 0{,}5\\ \mathrm{CV}) para margem de segurança e perdas adicionais.

Resposta

\,0,21\\ \mathrm{CV}

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