Construir as curvas de nível das funções dadas.
z=(1+x+y)^2

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis
z = (1 + x + y)^2
e pede para construir as curvas de nível, isto é, os conjuntos de pontos (x,y) onde z permanece igual a um mesmo valor constante.

Passo 2

Chamemos de c o valor fixo do nível. A curva de nível associada a c é definida por
(1 + x + y)^2 = c

Passo 3

Para resolver essa equação, tiramos raiz em ambos os lados (lembrando que o quadrado de algo só pode ser c>= 0):
1 + x + y = pm raizc

Passo 4

Isolando y, obtemos as retas
y = -,x - 1 + raizc e y = -,x - 1 - raizc
Isso mostra que, para cada c>0, a curva de nível é a união de duas retas paralelas de coeficiente angular -1.

Passo 5

  • Se c<0, não existem curvas de nível reais.
  • Se c=0, as duas retas se coincidem em y = -,x - 1

Resposta

As curvas de nível de ,z=(1+x+y)^2 são, para cada c>=0, as retas
y = -,x - 1 pm raizc

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