Justifique a porquê podemos usar o Teorema fundamental da integral de linha em cada item abaixo. Em seguida calcule integralc F d r quando F(x, y)=(sen y, x cos y-sen y) e C=Im alpha com alpha(t)=(e^t cos t, e^t sen t), 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

O enunciado pede para justificar que podemos usar o Teorema Fundamental da Integral de Linha em
integralCFcdot dr
onde
F(x,y)=l(sin y,;xcos y-sin yr),
e C é o traçado dado por
alpha(t)=l(e^tcos t,;e^tsin tr), 0<= t<=2pi
O conteúdo necessário é o conceito de campo vetorial conservativo em domínio simplesmente conexo e o Teorema Fundamental da Integral de Linha, que diz que se F=nabla f então
integralCFcdot dr = fl(alpha(2pi)r)-fl(alpha(0)r)

Passo 2

Para aplicar o teorema precisamos mostrar que F é conservativo. Escrevendo F=(P,Q) com
P(x,y)=sin y, Q(x,y)=xcos y-sin y,
calculamos as derivadas mistas:
partial Ppartial y=cos y, partial Qpartial x=cos y
Como partial P/partial y=partial Q/partial x em todo R^2, domínio aberto e simplesmente conexo, concluímos que F é conservativo.

Passo 3

Buscamos um potencial f tal que nabla f=F. Da primeira componente:
partial fpartial x=sin y Longrightarrow f(x,y)=xsin y + g(y)
Derivando em y e igualando à segunda componente de F:
partial fpartial y = xcos y + g'(y) stackrel!=xcos y - sin y Longrightarrow g'(y)=-sin y Longrightarrow g(y)=cos y + C
Escolhendo C=0, um potencial é
f(x,y)=xsin y + cos y

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental da Integral de Linha,
integralCFcdot dr = fl(alpha(2pi)r) - fl(alpha(0)r)

Passo 5

Calculamos os pontos finais do traçado:
alpha(0)=(e^0cos0,;e^0sin0)=(1,0), alpha(2pi)=(e^2picos2pi,;e^2pisin2pi)=(e^2pi,0)
Então
f(1,0)=1cdotsin0 + cos0 = 1, f(e^2pi,0)=e^2pisin0 + cos0 = 1,
e finalmente
integralCFcdot dr=1-1=0

Resposta

0

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