Justifique a porquê podemos usar o Teorema fundamental da integral de linha em cada item abaixo. Em seguida calcule
quando
e
com
,
Passo 1
O enunciado pede para justificar que podemos usar o Teorema Fundamental da Integral de Linha em
onde
e
é o traçado dado por
O conteúdo necessário é o conceito de campo vetorial conservativo em domínio simplesmente conexo e o Teorema Fundamental da Integral de Linha, que diz que se
então
Passo 2
Para aplicar o teorema precisamos mostrar que
é conservativo. Escrevendo
com
calculamos as derivadas mistas:
Como
em todo
, domínio aberto e simplesmente conexo, concluímos que
é conservativo.
Passo 3
Buscamos um potencial
tal que
. Da primeira componente:
Derivando em
e igualando à segunda componente de
:
Escolhendo
, um potencial é
Passo 4
Pelo Teorema Fundamental da Integral de Linha,
Passo 5
Calculamos os pontos finais do traçado:
Então
e finalmente
Resposta
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