Construir o gráfico das funções a seguir, determine domínio e imagem: f(x)=\left\{\begin{array}{l}(x+3)^{2}-2, \text { se } x \leq-1 \\\\ 1-|x|, \text { se }-1<x<2 \\\\ -2+\sqrt{x-2}, \text { se } 2<x<6 \\\ \frac{1}{x-8}, \text { se } x \geq 7\end{array}\right.
Passo 1
O que o enunciado pede:
Construir (desenhar) o gráfico da função por partes dada.
Determinar o domínio e a imagem (conjunto-valor) da função.
Existem quatro ramos, cada um válido em um intervalo diferente de x.
Os pontos de transição são x=-1, x=2, x=6 e x=7; note que x=8 é singular para o último ramo pois anula o denominador.
O enunciado não define f em (6,7) nem em x=2 nem em x=8. Vou checar cada ramo detalhadamente para descobrir valores nos extremos, continuidade, pontos incluídos (ponto fechado) e excluídos (ponto aberto).]
Passo 2
Análise do primeiro ramo: f_1(x)=(x+3)^2-2 para x\leq -1.
Primeiro, entender a forma:
É uma parábola com vértice em x=-3 (porque a forma é (x+3)^2).
Valor no vértice: ({-3}+3)^2-2 = 0-2=-2. Portanto o mínimo local/global do ramo é -2.
Avaliar o extremo da região x=-1:f_1(-1)=((-1)+3)^2-2 = 2^2-2 = 4-2 = 2.
Comportamento para x\to -\infty: (x+3)^2\to +\infty, então f_1(x)\to +\infty.
Conclusão para o ramo 1:
No intervalo x\leq -1 a parábola atinge o valor mínimo -2 em x=-3 (incluso) e cresce sem limite para +\infty quando x\to -\infty.
Imagem deste ramo: [ -2,\; +\infty).
Passo 3
Análise do segundo ramo: f_2(x)=1-|x| para -1<x<2.
Entendendo 1-|x|:
Função em forma de “V” invertido (parabólica absoluta invertida): atinge máximo onde |x| é mínimo, isto é em x=0.
Valor em x=0: f_2(0)=1-|0|=1. Esse é o máximo no intervalo (e 0 pertence ao intervalo -1<x<2), então máximo local/global do ramo é 1.
Valores nas extremidades (limites):
\displaystyle \lim_{x\to -1^+} f_2(x)=1-|{-1}|=1-1=0. Como x=-1 não pertence ao ramo, 0 pode ou não estar na imagem dependendo de existência de outro x que gere 0.
\displaystyle \lim_{x\to 2^-} f_2(x)=1-|2|=1-2=-1. Como x=2 não pertence ao ramo, o valor -1 não é atingido por x=2.
Verificar se valores intermediários são atingidos: resolver 1-|x|=0 dá |x|=1 isto é x=\pm 1. Desses, x=1 pertence ao intervalo -1<x<2, logo f_2(1)=0 está na imagem; x=-1 não pertence ao ramo. Portanto 0 pertence à imagem do ramo.
Resolver 1-|x|=-1 dá |x|=2 (não ocorre em -1<x<2), então -1 não é atingido.
Conclusão para o ramo 2:
O máximo é 1 (em x=0, incluído) e a função toma valores arbitrariamente próximos de -1 por x\to2^- mas não atinge -1.
Imagem deste ramo: (-1,\;1].
Passo 4
Análise do terceiro ramo: f_3(x)=-2+\sqrt{x-2} para 2<x<6.
Entendendo o domínio e imagem do radical:
A expressão \sqrt{x-2} exige x-2\ge 0; no ramo temos x>2 então a raiz varia em (0,\; \sqrt{6-2})=(0,2).
Quando x\to 2^+, \sqrt{x-2}\to 0^+ e f_3(x)\to -2^+ (valor -2 não alcançado porque x=2 não pertence ao ramo).
Quando x\to 6^-, \sqrt{x-2}\to 2^- e f_3(x)\to 0^- (valor 0 não alcançado porque x=6 não pertence).
A função é crescente neste ramo (a raiz cresce com x).
Conclusão para o ramo 3:
Imagem deste ramo: (-2,\;0) (ambos extremos abertos).
Passo 5
Análise do quarto ramo: f_4(x)=\dfrac{1}{x-8} para x\ge 7.
Precauções com denominador:
Em x=8 o denominador é zero, logo f não é definida em x=8 — há uma assimptota vertical x=8.
O ramo é válido para x\in[7,\infty) menos x=8; portanto o domínio deste ramo é [7,8)\cup(8,\infty).
Comportamento em cada parte:
Para x\in[7,8): x-8\in[-1,0) é negativo e tende a 0^- quando x\to 8^-. Em x=7, f_4(7)=1/(7-8)=-1. Quando x\to 8^-, f_4(x)\to -\infty. Logo a imagem em [7,8) é (-\infty,\,-1].
Para x\in(8,\infty): x-8>0, quando x\to 8^+ tem-se f_4(x)\to +\infty, e quando x\to\infty tem-se f_4(x)\to 0^+. Logo a imagem em (8,\infty) é (0,\infty).
Conclusão para o ramo 4:
Imagem deste ramo: (-\infty,\,-1] \cup (0,\infty).
Passo 6
Determinar o domínio total da função f (união dos domínios de cada ramo):
Ramo 1: x\le -1 isto é (-\infty,-1].
Ramo 2: -1<x<2 isto é (-1,2).
Ramo 3: 2<x<6 isto é (2,6).
Ramo 4: x\ge 7 mas com x\neq 8; explicitamente [7,8)\cup(8,\infty).