Construir o gráfico das funções a seguir, determine domínio e imagem:
f(x)=\left\{\begin{array}{l}(x+3)^{2}-2, \text { se } x \leq-1 \\\\ 1-|x|, \text { se }-1<x<2 \\\\ -2+\sqrt{x-2}, \text { se } 2<x<6 \\\ \frac{1}{x-8}, \text { se } x \geq 7\end{array}\right.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Construir (desenhar) o gráfico da função por partes dada.
  • Determinar o domínio e a imagem (conjunto-valor) da função.
O enunciado nos dá a função por partes:
f(x)=\begin{cases} (x+3)^{2}-2, & \text{se } x\leq -1,\\[4pt] 1-|x|, & \text{se } -1<x<2,\\[4pt] -2+\sqrt{x-2}, & \text{se } 2<x<6,\\[4pt] \dfrac{1}{x-8}, & \text{se } x\geq 7. \end{cases}
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • Existem quatro ramos, cada um válido em um intervalo diferente de x.
  • Os pontos de transição são x=-1, x=2, x=6 e x=7; note que x=8 é singular para o último ramo pois anula o denominador.
  • O enunciado não define f em (6,7) nem em x=2 nem em x=8. Vou checar cada ramo detalhadamente para descobrir valores nos extremos, continuidade, pontos incluídos (ponto fechado) e excluídos (ponto aberto).]

Passo 2

Análise do primeiro ramo: f_1(x)=(x+3)^2-2 para x\leq -1.
Primeiro, entender a forma:
  • É uma parábola com vértice em x=-3 (porque a forma é (x+3)^2).
  • Valor no vértice: ({-3}+3)^2-2 = 0-2=-2. Portanto o mínimo local/global do ramo é -2.
  • Avaliar o extremo da região x=-1: f_1(-1)=((-1)+3)^2-2 = 2^2-2 = 4-2 = 2.
  • Comportamento para x\to -\infty: (x+3)^2\to +\infty, então f_1(x)\to +\infty.
Conclusão para o ramo 1:
  • No intervalo x\leq -1 a parábola atinge o valor mínimo -2 em x=-3 (incluso) e cresce sem limite para +\infty quando x\to -\infty.
  • Imagem deste ramo: [ -2,\; +\infty).

Passo 3

Análise do segundo ramo: f_2(x)=1-|x| para -1<x<2.
Entendendo 1-|x|:
  • Função em forma de “V” invertido (parabólica absoluta invertida): atinge máximo onde |x| é mínimo, isto é em x=0.
  • Valor em x=0: f_2(0)=1-|0|=1. Esse é o máximo no intervalo (e 0 pertence ao intervalo -1<x<2), então máximo local/global do ramo é 1.
  • Valores nas extremidades (limites):
    • \displaystyle \lim_{x\to -1^+} f_2(x)=1-|{-1}|=1-1=0. Como x=-1 não pertence ao ramo, 0 pode ou não estar na imagem dependendo de existência de outro x que gere 0.
    • \displaystyle \lim_{x\to 2^-} f_2(x)=1-|2|=1-2=-1. Como x=2 não pertence ao ramo, o valor -1 não é atingido por x=2.
  • Verificar se valores intermediários são atingidos: resolver 1-|x|=0 |x|=1 isto é x=\pm 1. Desses, x=1 pertence ao intervalo -1<x<2, logo f_2(1)=0 está na imagem; x=-1 não pertence ao ramo. Portanto 0 pertence à imagem do ramo.
  • Resolver 1-|x|=-1 |x|=2 (não ocorre em -1<x<2), então -1 não é atingido.
Conclusão para o ramo 2:
  • O máximo é 1 (em x=0, incluído) e a função toma valores arbitrariamente próximos de -1 por x\to2^- mas não atinge -1.
  • Imagem deste ramo: (-1,\;1].

Passo 4

Análise do terceiro ramo: f_3(x)=-2+\sqrt{x-2} para 2<x<6.
Entendendo o domínio e imagem do radical:
  • A expressão \sqrt{x-2} exige x-2\ge 0; no ramo temos x>2 então a raiz varia em (0,\; \sqrt{6-2})=(0,2).
  • Quando x\to 2^+, \sqrt{x-2}\to 0^+ e f_3(x)\to -2^+ (valor -2 não alcançado porque x=2 não pertence ao ramo).
  • Quando x\to 6^-, \sqrt{x-2}\to 2^- e f_3(x)\to 0^- (valor 0 não alcançado porque x=6 não pertence).
  • A função é crescente neste ramo (a raiz cresce com x).
Conclusão para o ramo 3:
  • Imagem deste ramo: (-2,\;0) (ambos extremos abertos).

Passo 5

Análise do quarto ramo: f_4(x)=\dfrac{1}{x-8} para x\ge 7.
Precauções com denominador:
  • Em x=8 o denominador é zero, logo f não é definida em x=8 — há uma assimptota vertical x=8.
  • O ramo é válido para x\in[7,\infty) menos x=8; portanto o domínio deste ramo é [7,8)\cup(8,\infty).
Comportamento em cada parte:
  • Para x\in[7,8): x-8\in[-1,0) é negativo e tende a 0^- quando x\to 8^-. Em x=7, f_4(7)=1/(7-8)=-1. Quando x\to 8^-, f_4(x)\to -\infty. Logo a imagem em [7,8) é (-\infty,\,-1].
  • Para x\in(8,\infty): x-8>0, quando x\to 8^+ tem-se f_4(x)\to +\infty, e quando x\to\infty tem-se f_4(x)\to 0^+. Logo a imagem em (8,\infty) é (0,\infty).
Conclusão para o ramo 4:
  • Imagem deste ramo: (-\infty,\,-1] \cup (0,\infty).

Passo 6

Determinar o domínio total da função f (união dos domínios de cada ramo):
  • Ramo 1: x\le -1 isto é (-\infty,-1].
  • Ramo 2: -1<x<2 isto é (-1,2).
  • Ramo 3: 2<x<6 isto é (2,6).
  • Ramo 4: x\ge 7 mas com x\neq 8; explicitamente [7,8)\cup(8,\infty).
Unindo tudo:
\text{Dom}(f)=(-\infty,-1]\;\cup\;(-1,2)\;\cup\;(2,6)\;\cup\;[7,8)\;\cup\;(8,\infty).
Observações sobre pontos excluídos:
  • x=-1 pertence ao domínio (pela primeira parte) e f(-1)=2.
  • x=2 e x=6 não pertencem ao domínio.
  • x\in(6,7) não está no domínio (nenhum ramo ali definido).
  • x=8 não pertence (denominador zero).

Passo 7

Determinar a imagem (conjunto-valor) total como união das imagens parciais:
Remodelando as imagens parciais obtidas:
  • Ramo 1: [ -2,\; +\infty).
  • Ramo 2: (-1,\;1].
  • Ramo 3: (-2,\;0).
  • Ramo 4: (-\infty,\,-1] \cup (0,\infty).
Agora a união:
  • A parte (-\infty,-1] já aparece no ramo 4.
  • O ramo 1 dá [-2,\infty), ou seja cobre todos os valores de -2 para cima.
  • Juntando (-\infty,-1] com [-2,\infty) obtemos (-\infty,\infty), pois:
    • Ramo 4 cobre todo o eixo negativo até -1,
    • Ramo 1 cobre a partir de -2 até +\infty,
    • a sobreposição em [-2,-1] garante continuidade da cobertura.
      Portanto a união das imagens de todos os ramos é todo o conjunto dos números reais.
Conclusão:
\text{Im}(f)=(-\infty,\infty)=\mathbb{R}.

Passo 8

Instruções e pontos-chave para desenhar o gráfico (passo-a-passo prático para a prova):
  1. Primeiro ramo x\le -1: desenhar a porção da parábola y=(x+3)^2-2 para x\le -1.
    • Marcar o vértice em (-3,-2) (ponto fechado/incluído).
    • Marcar o ponto (-1,2) com ponto fechado (porque x=-1 pertence ao ramo).
    • A curva continua para a esquerda crescendo para +\infty.
  2. Segundo ramo -1<x<2: desenhar a “V” invertida y=1-|x| apenas para -1<x<2.
    • Marcar o ponto de máximo (0,1) (ponto interior, fechado).
    • Marcar (1,0) (fechado) porque 1 pertence ao intervalo; (-1,0) deve ficar como ponto aberto (porque x=-1 não pertence a este ramo).
    • Nas extremidades: em x\to -1^+ o valor tende a 0 (mas o ponto em (-1,0) está aberto); em x\to 2^- tende a -1 (aberto).
  3. Terceiro ramo 2<x<6: desenhar a curva y=-2+\sqrt{x-2}.
    • Próxima a x=2 a curva começa perto de -2 (ponto (2,-2) aberto).
    • Em x\to 6^- a curva aproxima-se de y=0 (ponto (6,0) aberto).
    • A curva é crescente e suave (forma de raiz quadrada transladada).
  4. Entre x=6 e x=7: não existe ramo — não desenhar nada nessa faixa (buraco no domínio).
  5. Quarto ramo x\ge 7: desenhar y=\dfrac{1}{x-8} em duas partes:
    • Para 7\le x<8: desenhar ramo que em x=7 tem ponto (7,-1) fechado e que desce para -\infty quando x\to 8^-.
    • Para x>8: desenhar ramo que sai de +\infty ao passar por x=8^+ e decresce para 0^+ quando x\to\infty.
    • Marcar a assíntota vertical x=8.
  6. Marcar claramente:
    • Pontos com bolinha preenchida (incluídos): (-3,-2), (-1,2), (0,1), (1,0), (7,-1).
    • Pontos com bolinha oca (excluídos): (-1,0), (2,-1) (limite pela esquerda), (2,-2) (limite pela direita), (6,0).
    • Assíntota vertical em x=8.

Resposta

Domínio: (-\infty,-1]\cup(-1,2)\cup(2,6)\cup[7,8)\cup(8,\infty)
Imagem: \mathbb{R}

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