Seja
a função
. Determine o domínio e a imagem de
, a expressão de
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
definida por
O que nos pedem:
- Determinar o domínio de
. - Determinar a imagem (conjunto de valores possíveis) de
. - Determinar a expressão de
(a função inversa), quando existir.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão contém
, portanto existe uma restrição sobre para que a raiz esteja bem definida (radicando não negativo). - A expressão contém
e poderá aparecer ao inverter a função.
Passo 2
Determinar o domínio: lembrar o que significa domínio e a condição da raiz quadrada.
- A raiz quadrada
está definida (no conjunto dos números reais) somente quando o radicando é maior ou igual a zero. - Então impondo a condição sobre o radicando:
- Resolver essa inequação passo a passo:
- Conclusão: todos os
maiores ou iguais a tornam a expressão bem definida. Portanto o domínio é o intervalo fechado a partir de .
Passo 3
Determinar a imagem: entender como os termos variam quando
percorre o domínio.
- Faça a substituição auxiliar
. Como , tem-se . Mais precisamente,
- A função exponencial
é contínua e estritamente crescente em . Para temos
- A função original é
. Somar desloca todos os valores em . Assim
- Portanto a imagem (conjunto de valores) de
é o intervalo .
Passo 4
Verificar invertibilidade e achar a inversa: explicar passo a passo e as restrições que aparecem.
- Primeiro, justificar que existe inversa:
é composição de funções estritamente crescentes no seu domínio ( é crescente, é crescente para , é crescente, e somar 1 preserva ordem). Logo é estritamente crescente em , então é injetora e tem inversa definida sobre a imagem . - Agora resolver a equação
para em termos de (operação padrão para obter a inversa). - Subtrair
:
- Para poder aplicar o logaritmo, é preciso que o argumento do log seja positivo:
. Além disso, observando o lado direito, como temos , então e portanto . Isso confirma que a inversa só faz sentido para , compatível com a imagem encontrada. - Aplicar o log natural (função inversa da exponencial):
Note que porque o lado esquerdo é igual a uma raiz quadrada (não negativa).
4. Elevar ao quadrado para eliminar a raiz:- Isolar
:
- Subtrair
- Assim, a expressão que associa a um valor
da imagem o correspondente do domínio é dada por essa fórmula. A inversa toma como entrada valores .
Passo 5
Observações finais e checagem rápida (como verificar na prova sem calculadora):
- Checar consistência em um ponto fácil: para
(extremo do domínio), tem , então , que confirma início da imagem. - Para inverter um valor
(por exemplo ), aplicar a fórmula da inversa: e , recobrando o ponto inicial. Bom sinal de que a fórmula está correta. - Lembrete de domínio da inversa: a função
exige ; mas a igualdade anterior com força , então a inversa está definida em .
Resposta
Domínio:
Imagem:
Inversa:
Imagem:
Inversa: