Seja f a função f(x)=1+e^{\sqrt{2 x-5}}. Determine o domínio e a imagem de f, a expressão de f^{-1}.

Passo 1

O enunciado nos dá a função f definida por
f(x)=1+e^{\sqrt{2x-5}}.
O que nos pedem:
  • Determinar o domínio de f.
  • Determinar a imagem (conjunto de valores possíveis) de f.
  • Determinar a expressão de f^{-1} (a função inversa), quando existir.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão contém \sqrt{2x-5}, portanto existe uma restrição sobre x para que a raiz esteja bem definida (radicando não negativo).
  • A expressão contém e^{(\cdot)} e \ln(\cdot) poderá aparecer ao inverter a função.

Passo 2

Determinar o domínio: lembrar o que significa domínio e a condição da raiz quadrada.
  • A raiz quadrada \sqrt{\,\cdot\,} está definida (no conjunto dos números reais) somente quando o radicando é maior ou igual a zero.
  • Então impondo a condição sobre o radicando:
2x-5 \ge 0.
  • Resolver essa inequação passo a passo:
2x \ge 5,
x \ge \tfrac{5}{2}.
  • Conclusão: todos os x maiores ou iguais a \tfrac{5}{2} tornam a expressão bem definida. Portanto o domínio é o intervalo fechado a partir de \tfrac{5}{2}.

Passo 3

Determinar a imagem: entender como os termos variam quando x percorre o domínio.
  • Faça a substituição auxiliar \,t=\sqrt{2x-5}\,. Como x\ge \tfrac{5}{2}, tem-se t\ge 0. Mais precisamente,
t\in[0,\infty).
  • A função exponencial e^{t} é contínua e estritamente crescente em t. Para t\in[0,\infty) temos
e^{t}\in[1,\infty).
  • A função original é f(x)=1+e^{t}. Somar 1 desloca todos os valores em +1. Assim
f(x)\in[1+1,\infty)=[2,\infty).
  • Portanto a imagem (conjunto de valores) de f é o intervalo [2,\infty).

Passo 4

Verificar invertibilidade e achar a inversa: explicar passo a passo e as restrições que aparecem.
  • Primeiro, justificar que existe inversa: f é composição de funções estritamente crescentes no seu domínio ( x\mapsto 2x-5 é crescente, t\mapsto\sqrt{t} é crescente para t\ge0, u\mapsto e^{u} é crescente, e somar 1 preserva ordem). Logo f é estritamente crescente em [\tfrac{5}{2},\infty), então é injetora e tem inversa definida sobre a imagem [2,\infty).
  • Agora resolver a equação y=1+e^{\sqrt{2x-5}} para x em termos de y (operação padrão para obter a inversa).
    1. Subtrair 1:
    y-1=e^{\sqrt{2x-5}}.
    1. Para poder aplicar o logaritmo, é preciso que o argumento do log seja positivo: y-1>0. Além disso, observando o lado direito, como \sqrt{2x-5}\ge 0 temos e^{\sqrt{2x-5}}\ge 1, então y-1\ge 1 e portanto y\ge 2. Isso confirma que a inversa só faz sentido para y\in[2,\infty), compatível com a imagem encontrada.
    2. Aplicar o log natural (função inversa da exponencial):
    \ln(y-1)=\sqrt{2x-5}.Note que \ln(y-1)\ge 0 porque o lado esquerdo é igual a uma raiz quadrada (não negativa).
    4. Elevar ao quadrado para eliminar a raiz: (\ln(y-1))^2 = 2x-5.
    1. Isolar x:
    x=\frac{(\ln(y-1))^2+5}{2}.
  • Assim, a expressão que associa a um valor y da imagem o correspondente x do domínio é dada por essa fórmula. A inversa toma como entrada valores y\ge 2.

Passo 5

Observações finais e checagem rápida (como verificar na prova sem calculadora):
  • Checar consistência em um ponto fácil: para x=\tfrac{5}{2} (extremo do domínio), tem \sqrt{2x-5}=\sqrt{0}=0, então f\bigl(\tfrac{5}{2}\bigr)=1+e^{0}=2, que confirma início da imagem.
  • Para inverter um valor y (por exemplo y=2), aplicar a fórmula da inversa: \ln(2-1)=\ln 1=0 e x=(0^2+5)/2=\tfrac{5}{2}, recobrando o ponto inicial. Bom sinal de que a fórmula está correta.
  • Lembrete de domínio da inversa: a função \ln(y-1) exige y-1>0; mas a igualdade anterior com \sqrt{\cdot} força y-1\ge 1, então a inversa está definida em [2,\infty).

Resposta

Domínio: \displaystyle \mathrm{Dom}(f)=\left[\tfrac{5}{2},\infty\right)
Imagem: \displaystyle \mathrm{Im}(f)=\left[2,\infty\right)
Inversa: \displaystyle f^{-1}(x)=\frac{\bigl(\ln(x-1)\bigr)^{2}+5}{2},\qquad x\in[2,\infty)

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