Construir o gráfico das funções a seguir, determine domínio e imagem:
Passo 1
O enunciado pede para construir o gráfico da função e determinar domínio e imagem da função
Informações dadas:
- A expressão é
.
O que se pede: - Construir (descrever como desenhar) o gráfico de
. - Determinar o domínio de
. - Determinar a imagem (conjunto de valores assumidos por
).
Passo 2
Entender o módulo e onde ele muda de sinal (ponto importante para fazer o gráfico).
- O valor absoluto
troca sua expressão quando o argumento muda de sinal. - Resolva
para encontrar o ponto de quebra:
Conclusão: a função é naturalmente escrita de forma diferente em duas regiões:
e
. Isso é típico quando aparece
.
Passo 3
Escrever
como função peça a peça (anotar explicitamente cada expressão).
- Para
temos , logo . Portanto, para
- Para
temos , logo . Portanto, para
Observação: cada uma das expressões é um polinômio quadrático, só que com coeficiente de
de sinais opostos, então são parábolas com concavidades opostas.
Passo 4
Domínio — onde a função está definida.
- A expressão
é bem definida para qualquer : produto de número real por módulo de número real. - Logo o domínio é todo o conjunto dos números reais:
Passo 5
Verificar continuidade em
(ponto de junção) e esboçar se há ponto com canto.
- Calcule o valor das duas peças em
:
- Ambas as peças valem
em e a definição original dá . Portanto é contínua em . - Derivadas laterais em
: - Para
: . Então . - Para
: . Então .
- Para
- Como
, a função não é diferenciável em : há um canto (vértice com mudança de inclinação) no gráfico em .
Passo 6
Encontrar zeros, sinais e comportamento em intervalos para ajudar no desenho.
- Zeros: resolva
. Como , os fatores possíveis que tornam são ou .
- Sinal:
- Para
: é negativo e , então . - Para
: e , então . - Para
: e , então .
- Para
- Conclusão:
é negativa para , tem zeros em e , e é positiva para .
Passo 7
Encontrar extremos locais nas duas peças (vértices das parábolas).
- Para
: . É uma parábola com concavidade para baixo (coeficiente de negativo), então tem um máximo local no vértice. - Coordenada do vértice em
: para . Aqui , , então
- Valor:
- Esse
pertence ao intervalo , logo é um máximo local real: ponto .
- Coordenada do vértice em
- Para
: . É parábola com concavidade para cima (coeficiente ), logo tem um mínimo no vértice. - Coeficientes:
, . Vértice em
- Esse
NÃO pertence à região , então dentro do domínio a função não atinge o vértice da parábola — ela é monótona no intervalo . - De fato a derivada
satisfaz para , então é estritamente crescente em .
- Coeficientes:
- Resumo: há um máximo local em
com valor . Em há canto e valor . Para , ; para , .
Passo 8
Determinar a imagem (conjunto de valores) a partir do comportamento global.
- Como
quando (porque para muito negativo a peça dominante é ) e quando (porque para grande positivo a peça é ), e a função é contínua em todo , ela assume todos os valores reais. - Portanto a imagem é todo
:
Passo 9
Como desenhar o gráfico — receita prática, com pontos-chave para traçar à mão (sem calculadora).
- Trace o eixo
e o eixo . - Marque os pontos importantes:
- Zeros:
e . - Máximo local:
. - Ponto de canto:
(já marcado). - Um ponto negativo para ver o ramo esquerdo: por exemplo
. Calcule , então ponto . - Alguns pontos à direita:
e .
- Zeros:
- No intervalo
desenhe a parábola : cresce até atingindo , depois decresce até e segue para à esquerda. - No intervalo
desenhe a parábola : parte de com inclinação inicial e cresce aceleradamente para . - Certifique-se de que o gráfico é suave em cada ramo quadrático, contínuo em
mas com mudança de inclinação (canto).
Dica: desenhe primeiro os pontos e depois ajuste as curvas parábolas passando por esses pontos.