Construir o gráfico das funções a seguir, determine domínio e imagem:
f(x)=x|2 x-1|

Passo 1

O enunciado pede para construir o gráfico da função e determinar domínio e imagem da função
f(x)=x\lvert 2x-1\rvert.
Informações dadas:
  • A expressão é f(x)=x\lvert 2x-1\rvert.
    O que se pede:
  • Construir (descrever como desenhar) o gráfico de f.
  • Determinar o domínio de f.
  • Determinar a imagem (conjunto de valores assumidos por f).

Passo 2

Entender o módulo e onde ele muda de sinal (ponto importante para fazer o gráfico).
  • O valor absoluto \lvert 2x-1\rvert troca sua expressão quando o argumento 2x-1 muda de sinal.
  • Resolva 2x-1=0 para encontrar o ponto de quebra:
2x-1=0 \quad\Rightarrow\quad x=\tfrac{1}{2}.
Conclusão: a função é naturalmente escrita de forma diferente em duas regiões: x<\tfrac{1}{2} e x\ge \tfrac{1}{2}. Isso é típico quando aparece \lvert\cdot\rvert.

Passo 3

Escrever f como função peça a peça (anotar explicitamente cada expressão).
  • Para x\ge \tfrac{1}{2} temos 2x-1\ge0, logo \lvert 2x-1\rvert=2x-1. Portanto, para x\ge \tfrac{1}{2}
f(x)=x(2x-1)=2x^2-x.
  • Para x<\tfrac{1}{2} temos 2x-1<0, logo \lvert 2x-1\rvert=-(2x-1)=1-2x. Portanto, para x<\tfrac{1}{2}
f(x)=x(1-2x)= -2x^2+x.
Observação: cada uma das expressões é um polinômio quadrático, só que com coeficiente de x^2 de sinais opostos, então são parábolas com concavidades opostas.

Passo 4

Domínio — onde a função está definida.
  • A expressão x\lvert 2x-1\rvert é bem definida para qualquer x\in\mathbb{R}: produto de número real por módulo de número real.
  • Logo o domínio é todo o conjunto dos números reais:
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}.

Passo 5

Verificar continuidade em x=\tfrac{1}{2} (ponto de junção) e esboçar se há ponto com canto.
  • Calcule o valor das duas peças em x=\tfrac{1}{2}:
\text{para }x=\tfrac{1}{2}:\qquad 2x^2-x=2\left(\tfrac{1}{2}\right)^2-\tfrac{1}{2}= \tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}=0,
-2x^2+x=-2\left(\tfrac{1}{2}\right)^2+\tfrac{1}{2}=-\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}=0.
  • Ambas as peças valem 0 em x=\tfrac{1}{2} e a definição original dá f(\tfrac{1}{2})=\tfrac{1}{2}\cdot 0=0. Portanto f é contínua em x=\tfrac{1}{2}.
  • Derivadas laterais em x=\tfrac{1}{2}:
    • Para x>\tfrac{1}{2}: f(x)=2x^2-x\Rightarrow f'(x)=4x-1. Então f'_+(\tfrac{1}{2})=4\cdot\tfrac{1}{2}-1=1.
    • Para x<\tfrac{1}{2}: f(x)=-2x^2+x\Rightarrow f'(x)=-4x+1. Então f'_{-}(\tfrac{1}{2})=-4\cdot\tfrac{1}{2}+1=-1.
  • Como f'_-(\tfrac{1}{2})\neq f'_+(\tfrac{1}{2}), a função não é diferenciável em x=\tfrac{1}{2}: há um canto (vértice com mudança de inclinação) no gráfico em \big(\tfrac{1}{2},0\big).

Passo 6

Encontrar zeros, sinais e comportamento em intervalos para ajudar no desenho.
  • Zeros: resolva f(x)=0. Como f(x)=x\lvert 2x-1\rvert, os fatores possíveis que tornam f=0 são x=0 ou 2x-1=0.
x=0\quad\text{ou}\quad x=\tfrac{1}{2}.
  • Sinal:
    • Para x<0: x é negativo e \lvert 2x-1\rvert>0, então f(x)<0.
    • Para 0<x<\tfrac{1}{2}: x>0 e \lvert 2x-1\rvert=1-2x>0, então f(x)>0.
    • Para x>\tfrac{1}{2}: x>0 e \lvert 2x-1\rvert=2x-1>0, então f(x)>0.
  • Conclusão: f é negativa para x<0, tem zeros em x=0 e x=\tfrac{1}{2}, e é positiva para x\in(0,\infty)\setminus\{\tfrac{1}{2}\}.

Passo 7

Encontrar extremos locais nas duas peças (vértices das parábolas).
  • Para x<\tfrac{1}{2}: f(x)=-2x^2+x. É uma parábola com concavidade para baixo (coeficiente de x^2 negativo), então tem um máximo local no vértice.
    • Coordenada do vértice em x: \displaystyle x_v=-\frac{b}{2a} para ax^2+bx+c. Aqui a=-2, b=1, então
    x_v=-\frac{1}{2(-2)}=\tfrac{1}{4}.
    • Valor: f(\tfrac{1}{4})=-2\big(\tfrac{1}{4}\big)^2+\tfrac{1}{4}=-2\cdot\tfrac{1}{16}+\tfrac{1}{4}=-\tfrac{1}{8}+\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{8}.
    • Esse x_v=\tfrac{1}{4} pertence ao intervalo x<\tfrac{1}{2}, logo é um máximo local real: ponto \big(\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{8}\big).
  • Para x\ge \tfrac{1}{2}: f(x)=2x^2-x. É parábola com concavidade para cima (coeficiente +2), logo tem um mínimo no vértice.
    • Coeficientes: a=2, b=-1. Vértice em
    x_v=-\frac{-1}{2\cdot 2}=\tfrac{1}{4}.
    • Esse x_v=\tfrac{1}{4} NÃO pertence à região x\ge \tfrac{1}{2}, então dentro do domínio x\ge\tfrac{1}{2} a função não atinge o vértice da parábola — ela é monótona no intervalo x\ge \tfrac{1}{2}.
    • De fato a derivada f'(x)=4x-1 satisfaz f'(x)\ge 1 para x\ge \tfrac{1}{2}, então f é estritamente crescente em [\tfrac{1}{2},\infty).
  • Resumo: há um máximo local em x=\tfrac{1}{4} com valor \tfrac{1}{8}. Em x=\tfrac{1}{2} há canto e valor 0. Para x\to+\infty, f(x)\to +\infty; para x\to -\infty, f(x)\to -\infty.

Passo 8

Determinar a imagem (conjunto de valores) a partir do comportamento global.
  • Como f(x)\to -\infty quando x\to -\infty (porque para x muito negativo a peça dominante é -2x^2) e f(x)\to +\infty quando x\to +\infty (porque para x grande positivo a peça é 2x^2), e a função é contínua em todo \mathbb{R}, ela assume todos os valores reais.
  • Portanto a imagem é todo \mathbb{R}:
\text{Im}(f)=\mathbb{R}.

Passo 9

Como desenhar o gráfico — receita prática, com pontos-chave para traçar à mão (sem calculadora).
  1. Trace o eixo x e o eixo y.
  2. Marque os pontos importantes:
    • Zeros: (0,0) e (\tfrac{1}{2},0).
    • Máximo local: (\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{8}).
    • Ponto de canto: (\tfrac{1}{2},0) (já marcado).
    • Um ponto negativo para ver o ramo esquerdo: por exemplo (-1,f(-1)). Calcule f(-1)=-1\lvert -3\rvert=-3, então ponto (-1,-3).
    • Alguns pontos à direita: f(1)=1\lvert 1\rvert=1 e f(2)=2\lvert 3\rvert=6.
  3. No intervalo x<\tfrac{1}{2} desenhe a parábola f(x)=-2x^2+x: cresce até x=\tfrac{1}{4} atingindo \tfrac{1}{8}, depois decresce até (\tfrac{1}{2},0) e segue para -\infty à esquerda.
  4. No intervalo x\ge\tfrac{1}{2} desenhe a parábola f(x)=2x^2-x: parte de (\tfrac{1}{2},0) com inclinação inicial 1 e cresce aceleradamente para +\infty.
  5. Certifique-se de que o gráfico é suave em cada ramo quadrático, contínuo em x=\tfrac{1}{2} mas com mudança de inclinação (canto).
    Dica: desenhe primeiro os pontos e depois ajuste as curvas parábolas passando por esses pontos.

Resposta

\text{Dom}(f)=\mathbb{R}
\text{Im}(f)=\mathbb{R}

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