Construir o gráfico das seguintes funções:
$f(x)=-x^{2}+4 x-1

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=-x^{2}+4x-1 e pede para construir (desenhar) o gráfico.
Informações relevantes fornecidas:
  • A fórmula explícita da função é f(x)=-x^{2}+4x-1.
  • Precisa-se obter os pontos e características principais (vértice, interceptos, concavidade) para esboçar o gráfico.

Passo 2

Identificar os coeficientes e o comportamento geral da parábola.
Escrevendo a função na forma padrão de um polinômio quadrático ax^{2}+bx+c, temos:
a=-1,\qquad b=4,\qquad c=-1.
O coeficiente a determina a concavidade:
  • Se a>0 a parábola abre para cima (mínimo).
  • Se a<0 a parábola abre para baixo (máximo).
    Aqui a=-1<0, portanto a parábola abre para baixo e o vértice será um ponto de máximo.

Passo 3

Encontrar o eixo de simetria e o vértice usando a fórmula do vértice.
A abscissa do vértice (eixo de simetria) é dada por
x_{v} = -\dfrac{b}{2a}.
Explicando: b e a são os coeficientes do polinômio acima; essa fórmula vem de completar o quadrado ou de derivar f(x) e achar o ponto crítico. Substituindo:
x_{v} = -\dfrac{4}{2\cdot(-1)} = -\dfrac{4}{-2}=2.
A ordenada do vértice é y_{v}=f(x_{v}). Calcule:
f(2) = -2^{2} + 4\cdot 2 -1 = -4 +8 -1 = 3.
Logo o vértice é (2,3) e o eixo de simetria é a reta x=2. Como a<0, esse vértice é um máximo com valor máximo f(2)=3.

Passo 4

Obter a forma vértice (completar o quadrado) — útil para esboçar diretamente.
Partimos de f(x)=-x^{2}+4x-1. Factorando -1 dos termos quadrático e linear:
f(x) = -(x^{2}-4x)+(-1).
Agora completamos o quadrado em x^{2}-4x. Sabendo que (x-2)^{2}=x^{2}-4x+4, então x^{2}-4x=(x-2)^{2}-4. Substituindo:
f(x) = -\big((x-2)^{2}-4\big)-1 = - (x-2)^{2} +4 -1 = - (x-2)^{2} +3.
Portanto a forma vértice é
f(x)=-(x-2)^{2}+3,
do qual se lê imediatamente o vértice (2,3) e a “abertura” (coeficiente -1).

Passo 5

Calcular as raízes (interseções com o eixo x) usando a fórmula quadrática.
Discriminante:
\Delta = b^{2}-4ac = 4^{2}-4\cdot(-1)\cdot(-1)=16-4=12.
Fórmula:
x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-4\pm\sqrt{12}}{2\cdot(-1)}.
Simplificando \sqrt{12}=2\sqrt{3} e dividindo por -2:
x=\dfrac{-4\pm 2\sqrt{3}}{-2}=\;2\mp\sqrt{3}.
Portanto as raízes exatas são \;x=2-\sqrt{3} e \;x=2+\sqrt{3}. Aproximações úteis para desenhar:
2-\sqrt{3}\approx 0,268\qquad\text{e}\qquad 2+\sqrt{3}\approx 3,732.

Passo 6

Encontrar o intercepto com o eixo y e alguns pontos simétricos para guiar o esboço.
O intercepto com o eixo y é f(0):
f(0) = -0^{2}+4\cdot0-1 = -1,
logo o ponto (0,-1). Pelo eixo de simetria x=2, pontos equidistantes de x=2 têm mesmas ordenadas. Calcule alguns valores simples:
f(1) = -1^{2}+4\cdot1-1 = -1+4-1=2,
f(3) = -9+12-1 =2,
f(4) = -16+16-1=-1.
Assim os pontos (1,2) e (3,2) são simétricos; (0,-1) e (4,-1) também.

Passo 7

Montar uma lista de pontos práticos para traçar e descrever como desenhar a parábola.
Pontos chave (exatos e aproximados):
  • Vértice: (2,3).
  • Raízes: \bigl(2-\sqrt{3},0\bigr) e \bigl(2+\sqrt{3},0\bigr) (aprox. (0,268,0) e (3,732,0)).
  • Intercepto y: (0,-1).
  • Pontos simétricos: (1,2), (3,2), (4,-1).
Como desenhar à mão (passo a passo):
  1. Marque o vértice (2,3). Desenhe a reta vertical x=2 como eixo de simetria (leve).
  2. Marque as raízes aproximadas em x\approx0,268 e x\approx3,732.
  3. Marque o intercepto (0,-1) e os pontos (1,2), (3,2), (4,-1).
  4. Desenhe uma curva suave que passe por esses pontos, simétrica em relação a x=2, com topo no vértice e abrindo para baixo (porque a=-1).
  5. Verifique que o ponto mais alto é (2,3) e que a curva tende para -\infty quando x\to\pm\infty.

Passo 8

Verificação rápida de consistência:
  • O eixo de simetria x=2 é o ponto médio entre as raízes (2-\sqrt{3}) e (2+\sqrt{3}), confirmado.
  • A forma vértice f(x)=-(x-2)^{2}+3 confirma o vértice e a concavidade.
    Tudo consistente — agora é só plotar os pontos e traçar a parábola.

Resposta

Vértice: (2,3)
Forma vértice: f(x)=-(x-2)^{2}+3
Eixo de simetria: x=2
Raízes: x=2\pm\sqrt{3} (aprox. 0,268 e 3,732)
Intercepto em y: f(0)=-1
Concavidade: abre para baixo; máximo f(2)=3

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