Construir o gráfico das seguintes funções:
$f(x)=-x^{2}+4 x-1
$f(x)=-x^{2}+4 x-1
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para construir (desenhar) o gráfico.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A fórmula explícita da função é
. - Precisa-se obter os pontos e características principais (vértice, interceptos, concavidade) para esboçar o gráfico.
Passo 2
Identificar os coeficientes e o comportamento geral da parábola.
Escrevendo a função na forma padrão de um polinômio quadrático , temos:
Escrevendo a função na forma padrão de um polinômio quadrático
O coeficiente
determina a concavidade:
- Se
a parábola abre para cima (mínimo). - Se
a parábola abre para baixo (máximo).
Aqui, portanto a parábola abre para baixo e o vértice será um ponto de máximo.
Passo 3
Encontrar o eixo de simetria e o vértice usando a fórmula do vértice.
A abscissa do vértice (eixo de simetria) é dada por
A abscissa do vértice (eixo de simetria) é dada por
Explicando:
e
são os coeficientes do polinômio acima; essa fórmula vem de completar o quadrado ou de derivar
e achar o ponto crítico. Substituindo:
A ordenada do vértice é
. Calcule:
Logo o vértice é
e o eixo de simetria é a reta
. Como
, esse vértice é um máximo com valor máximo
.
Passo 4
Obter a forma vértice (completar o quadrado) — útil para esboçar diretamente.
Partimos de . Factorando
dos termos quadrático e linear:
Partimos de
Agora completamos o quadrado em
. Sabendo que
, então
. Substituindo:
Portanto a forma vértice é
do qual se lê imediatamente o vértice
e a “abertura” (coeficiente
).
Passo 5
Calcular as raízes (interseções com o eixo
) usando a fórmula quadrática.
Discriminante:
Discriminante:
Fórmula:
Simplificando
e dividindo por
:
Portanto as raízes exatas são
e
. Aproximações úteis para desenhar:
Passo 6
Encontrar o intercepto com o eixo
e alguns pontos simétricos para guiar o esboço.
O intercepto com o eixo é
:
O intercepto com o eixo
logo o ponto
. Pelo eixo de simetria
, pontos equidistantes de
têm mesmas ordenadas. Calcule alguns valores simples:
Assim os pontos
e
são simétricos;
e
também.
Passo 7
Montar uma lista de pontos práticos para traçar e descrever como desenhar a parábola.
Pontos chave (exatos e aproximados):
Pontos chave (exatos e aproximados):
- Vértice:
. - Raízes:
e (aprox. e ). - Intercepto
: . - Pontos simétricos:
, , .
Como desenhar à mão (passo a passo):
- Marque o vértice
. Desenhe a reta vertical como eixo de simetria (leve). - Marque as raízes aproximadas em
e . - Marque o intercepto
e os pontos , , . - Desenhe uma curva suave que passe por esses pontos, simétrica em relação a
, com topo no vértice e abrindo para baixo (porque ). - Verifique que o ponto mais alto é
e que a curva tende para quando .
Passo 8
Verificação rápida de consistência:
- O eixo de simetria
é o ponto médio entre as raízes e , confirmado. - A forma vértice
confirma o vértice e a concavidade.
Tudo consistente — agora é só plotar os pontos e traçar a parábola.
Resposta
Vértice:
Forma vértice:
Eixo de simetria:
Raízes: (aprox.
e
)
Intercepto em :
Concavidade: abre para baixo; máximo
Forma vértice:
Eixo de simetria:
Raízes:
Intercepto em
Concavidade: abre para baixo; máximo