Explicite o domínio das funções reais definidas por:
a) f(x)=\frac{1}{x-6}

Passo 1

O enunciado dá a função real
f(x)=\frac{1}{x-6}
e pede que se explicite o domínio — ou seja, o conjunto de valores de x (reais) para os quais a expressão que define f(x) faz sentido. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A expressão tem um denominador igual a x-6.
  • Valores de x que tornem o denominador igual a zero podem ser problemáticos (a avaliação da função pode não estar definida nesses pontos).

Passo 2

O que significa “fazer sentido” aqui? Vou explicar devagarinho.
Quando temos uma fração \dfrac{a}{b} (com a e b números reais), ela só está bem definida se o denominador b for diferente de zero. Por quê? Porque não existe número real y tal que 0\cdot y = 1; portanto a expressão \dfrac{1}{0} não corresponde a nenhum número real. Em termos intuitivos: dividir por zero não é permitido no corpo dos números reais.
Exemplo simples para fixar:
\frac{1}{2}=0,5\quad\text{(ok)},\qquad \frac{1}{0}\\ \text{não existe (indefinido)}.ã

Passo 3

Aplicando essa ideia à nossa função: o denominador é x-6. Para que a função esteja definida devemos ter
x-6 \neq 0.
Resolvendo essa desigualdade:
x-6 \neq 0 \quad\Rightarrow\quad x \neq 6.
Isso significa que o único valor de x que não podemos aceitar é x=6. Qualquer outro número real é permitido.

Passo 4

Para consolidar: podemos testar rapidinho alguns valores.
  • Se x=0, então f(0)=\dfrac{1}{0-6}=\dfrac{1}{-6}=-\dfrac{1}{6} — está definido.
  • Se x=7, então f(7)=\dfrac{1}{7-6}=1 — está definido.
  • Se x=6, então a expressão seria \dfrac{1}{0}, que é indefinida — portanto x=6 deve ser excluído do domínio.

Resposta

\mathbb{R}\setminus\{6\}
(-\infty,6)\cup(6,\infty)

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