Construir o gráfico das seguintes funções:
$f(x)=|x|,-3 \leq x \leq 3
$f(x)=|x|,-3 \leq x \leq 3
Passo 1
O enunciado dá a função
com domínio restrito a
e pede para construir (desenhar) o gráfico dessa função.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A expressão da função:
. - O domínio a considerar:
.
O que precisamos produzir: um gráfico no plano cartesiano que representepara todo entre e .
Passo 2
Entender o que é o valor absoluto e escrever a função de forma que facilite o desenho. O valor absoluto de um número pega sua distância até zero, portanto:
Isso significa, em palavras bem simples: para
negativo,
é
(que vira positivo); para
não negativo,
é
. Essa forma em pedaços (piecewise) é a chave para desenhar o gráfico: são duas retas que se unem em
.]
Passo 3
Determinar domínio e imagem (range) dentro do intervalo dado:
- Domínio já foi dado:
. - A imagem (valores possíveis de
) é . No intervalo dado, os maiores valores ocorrem em , então a imagem é . Em notação:
Motivo:
é o mínimo;
são os máximos no intervalo pedido.
Passo 4
Calcular pontos-chave (vou pegar pontos simples que ajudam a traçar a forma exata):
Esses pontos são:
. Plote-os no papel — eles ficarão todos sobre duas retas.
Passo 5
Identificar as retas que formam o gráfico e calcular inclinações:
- Para
: . É a reta que passa pela origem com inclinação . Qualquer dois pontos (por exemplo e ) confirmam a inclinação:
- Para
: . É uma reta que também passa pela origem, com inclinação quando vista no sentido do eixo (mas note que os valores de são positivos porque para ). Exemplo com e :
Portanto o gráfico é a união das duas retas: do segmento que vai de
até
(reta
restrita) e do segmento que vai de
até
(reta
restrita).
Passo 6
Instruções práticas passo a passo para desenhar (faça no papel quadriculado ou em um gráfico):
- Desenhe e rotule os eixos
e . Marque as divisões inteiras de a no eixo e de a no eixo . - Plote os pontos listados no Passo 4:
. Use pontos preenchidos (sinalizando que estão incluídos). - Una com uma linha reta os pontos à esquerda do zero: conecte
a seguindo a reta . - Una com uma linha reta os pontos à direita do zero: conecte
a seguindo a reta . - O vértice (a “ponta” do V) é o ponto
. A junção das duas retas forma um V simétrico em relação ao eixo . - Verifique: a curva é contínua em todo o intervalo (sem buracos), mas tem um canto em
(a derivada muda de para ).
Passo 7
Propriedades finais e comentários para a prova (coisas que costumam cair):
- Simetria:
é uma função par, pois . Em símbolos: . Isso explica por que o gráfico é simétrico em relação ao eixo . - Continuidade:
é contínua em todo o intervalo . - Diferenciabilidade:
não é diferenciável em (há um canto), porque as derivadas laterais são diferentes ( à esquerda e à direita). - Para a prova: memorizando que
forma um V com vértice em e retas (à esquerda) e (à direita) você consegue construir o gráfico rapidamente.
Resposta
Gráfico: segmento da reta
ligando
a
e segmento da reta
ligando
a
; forma um
com vértice em
e imagem
.]