Construir o gráfico das seguintes funções:
$f(x)=|x|,-3 \leq x \leq 3

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=|x| com domínio restrito a -3 \le x \le 3 e pede para construir (desenhar) o gráfico dessa função.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A expressão da função: f(x)=|x|.
  • O domínio a considerar: -3 \le x \le 3.
    O que precisamos produzir: um gráfico no plano cartesiano que represente f(x)=|x| para todo x entre -3 e 3.

Passo 2

Entender o que é o valor absoluto e escrever a função de forma que facilite o desenho. O valor absoluto de um número pega sua distância até zero, portanto:
|x| = \begin{cases} -x, & \text{se } x<0,\\[4pt] x, & \text{se } x\ge 0. \end{cases}
Isso significa, em palavras bem simples: para x negativo, f(x) é -x (que vira positivo); para x não negativo, f(x) é x. Essa forma em pedaços (piecewise) é a chave para desenhar o gráfico: são duas retas que se unem em x=0.]

Passo 3

Determinar domínio e imagem (range) dentro do intervalo dado:
  • Domínio já foi dado: -3 \le x \le 3.
  • A imagem (valores possíveis de f) é f(x)=|x|\ge 0. No intervalo dado, os maiores valores ocorrem em |x|=3, então a imagem é 0 \le f(x) \le 3. Em notação:
\text{imagem} = [0,\,3].
Motivo: f(0)=0 é o mínimo; f(\pm3)=3 são os máximos no intervalo pedido.

Passo 4

Calcular pontos-chave (vou pegar pontos simples que ajudam a traçar a forma exata):
\begin{aligned} &x=-3 \Rightarrow f(-3)=|-3|=3,\\\ &x=-2 \Rightarrow f(-2)=2,\\\ &x=-1 \Rightarrow f(-1)=1,\\\ &x=0 \Rightarrow f(0)=0,\\\ &x=1 \Rightarrow f(1)=1,\\\ &x=2 \Rightarrow f(2)=2,\\\ &x=3 \Rightarrow f(3)=3. \end{aligned}
Esses pontos são: (-3,3),(-2,2),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,2),(3,3). Plote-os no papel — eles ficarão todos sobre duas retas.

Passo 5

Identificar as retas que formam o gráfico e calcular inclinações:
  • Para x\ge 0: f(x)=x. É a reta que passa pela origem com inclinação m=1. Qualquer dois pontos (por exemplo (0,0) e (3,3)) confirmam a inclinação:
m=\frac{3-0}{3-0}=1.
  • Para x<0: f(x)=-x. É uma reta que também passa pela origem, com inclinação m=-1 quando vista no sentido do eixo x (mas note que os valores de f são positivos porque -x>0 para x<0). Exemplo com (-3,3) e (0,0):
m=\frac{0-3}{0-(-3)}=\frac{-3}{3}=-1.
Portanto o gráfico é a união das duas retas: do segmento que vai de (-3,3) até (0,0) (reta y=-x restrita) e do segmento que vai de (0,0) até (3,3) (reta y=x restrita).

Passo 6

Instruções práticas passo a passo para desenhar (faça no papel quadriculado ou em um gráfico):
  1. Desenhe e rotule os eixos x e y. Marque as divisões inteiras de -3 a 3 no eixo x e de 0 a 3 no eixo y.
  2. Plote os pontos listados no Passo 4: (-3,3),(-2,2),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,2),(3,3). Use pontos preenchidos (sinalizando que estão incluídos).
  3. Una com uma linha reta os pontos à esquerda do zero: conecte (-3,3) a (0,0) seguindo a reta y=-x.
  4. Una com uma linha reta os pontos à direita do zero: conecte (0,0) a (3,3) seguindo a reta y=x.
  5. O vértice (a “ponta” do V) é o ponto (0,0). A junção das duas retas forma um V simétrico em relação ao eixo y.
  6. Verifique: a curva é contínua em todo o intervalo (sem buracos), mas tem um canto em x=0 (a derivada muda de -1 para +1).

Passo 7

Propriedades finais e comentários para a prova (coisas que costumam cair):
  • Simetria: f é uma função par, pois |-x|=|x|. Em símbolos: f(-x)=f(x). Isso explica por que o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.
  • Continuidade: f é contínua em todo o intervalo [-3,3].
  • Diferenciabilidade: f não é diferenciável em x=0 (há um canto), porque as derivadas laterais são diferentes ( -1 à esquerda e +1 à direita).
  • Para a prova: memorizando que f(x)=|x| forma um V com vértice em (0,0) e retas y=-x (à esquerda) e y=x (à direita) você consegue construir o gráfico rapidamente.

Resposta

f(x)=|x|= \begin{cases} -x, & -3\le x<0,\\[4pt] x, & 0\le x\le 3, \end{cases}
Gráfico: segmento da reta y=-x ligando (-3,3) a (0,0) e segmento da reta y=x ligando (0,0) a (3,3); forma um V com vértice em (0,0) e imagem [0,3].]

Exercícios relacionados