Construir o gráfico das seguintes funções:
$y=4-x^{3}
$y=4-x^{3}
Passo 1
O enunciado pede construir o gráfico da função
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A própria expressão da função:
. - Não há restrição de domínio no enunciado.
Passo 2
Determinar o domínio e imagem (intervalo dos valores possíveis de
).
- Domínio: como a expressão
está bem definida para todo , o domínio é . - Imagem: o termo
vai a quando e a quando , então a função assume todos os reais. Logo a imagem também é .
Passo 3
Interceptos com os eixos (pontos importantes para desenhar).
- Intercepto com o eixo
(colocar ):
portanto o ponto é
.
- Intercepto(s) com o eixo
(resolver ):
Temos um único zero real
. Aproximação sem calculadora:
e
, então
. Assim o intercepto em
é aproximadamente
.
Passo 4
Simetria da função.
- Calcular
. Como e em geral, a função não é par nem ímpar; não há simetria par/ímpar simples.
Passo 5
Derivada e monotonicidade — por que a curva tem essa forma.
- Derivada:
- Análise do sinal: como
para todo , tem-se para todo , e apenas em . Isso significa que a função é decrescente em todo o domínio; em a derivada muda de valor negativo para negativo passando por zero (não há máximo ou mínimo local isolado), isto corresponde a uma tangente horizontal em .
Explicação didática curta: derivada negativa indica que quando
aumenta a função diminui; aqui isso vale para todos os
, logo a curva sempre desce da esquerda para a direita.
Passo 6
Segunda derivada e ponto de inflexão — onde a concavidade muda.
- Segunda derivada:
- Em
temos (concavidade para cima). Em temos (concavidade para baixo). Em temos e troca de concavidade, logo é um ponto de inflexão. O ponto de inflexão é o mesmo que o intercepto em : . É também onde a tangente é horizontal.
Passo 7
Comportamento para grandes valores de
(limites e “extremos” do gráfico).
- Quando
, e então . A curva desce à direita sem limite inferior. - Quando
, e então . A curva sobe à esquerda sem limite superior.
Isto concilia com a forma típica de uma cúbica: sobe à esquerda, desce à direita.
Passo 8
Tabela de pontos para desenhar à mão (pontos fáceis e informativos).
Calculemos alguns pontos inteiros e um ponto próximo à raiz:
Calculemos alguns pontos inteiros e um ponto próximo à raiz:
-
: → . -
: → . -
: → (inflexão, tangente horizontal). -
: → . -
: → . - Para aproximar a raiz:
: → próximo de zero; de fato a raiz em tem .
Passo 9
Como montar o esboço do gráfico passo a passo (para fazer na prova, sem calculadora):
- Desenhe e marque os eixos
e . - Marque o ponto
— é o intercepto com e o ponto de inflexão com tangente horizontal. - Marque a raiz
aproximadamente em . - Plote os pontos da tabela:
, , , . Esses pontos mostram que para a curva está alta (crescente quando olhada da direita para a esquerda) e para já está descendo. - Lembre-se da concavidade: à esquerda de
a curva é côncava para cima; à direita de côncava para baixo. Conecte suavemente os pontos respeitando que a função é sempre decrescente (nunca sobe) e que há uma inflexão em . - Estenda a curva para cima à esquerda e para baixo à direita, sem assintotas horizontais ou verticais (comportamento
já explicado).
Passo 10
Comentários finais, motivação e dica rápida:
- Visualize
como a cúbica padrão deslocada para cima em unidades. Isso ajuda a imaginar a forma: o sinal negativo inverte a cúbica padrão e o a desloca. - Na prova: ache interceptos, derive para monotonicidade, calcule segunda derivada para concavidade/inflexão e trace alguns pontos-chave — esse roteiro é rápido e seguro.
Resposta
Gráfico: curva cúbica decrescente dada por
, domínio
, intercepto em
no ponto
(que é ponto de inflexão com tangente horizontal), intercepto em
em
, monotonicidade: decrescente para todo
(
), concavidade: côncava para cima em
e côncava para baixo em
; pontos de referência:
.