Construir o gráfico das seguintes funções:
$y=4-x^{3}

Passo 1

O enunciado pede construir o gráfico da função y=4-x^{3}.
Informações dadas:
  • A própria expressão da função: y=4-x^{3}.
  • Não há restrição de domínio no enunciado.

Passo 2

Determinar o domínio e imagem (intervalo dos valores possíveis de y).
  • Domínio: como a expressão 4-x^{3} está bem definida para todo x\in\mathbb{R}, o domínio é \mathbb{R}.
  • Imagem: o termo -x^{3} vai a -\infty quando x\to+\infty e a +\infty quando x\to-\infty, então a função assume todos os reais. Logo a imagem também é \mathbb{R}.

Passo 3

Interceptos com os eixos (pontos importantes para desenhar).
  • Intercepto com o eixo y (colocar x=0):
y(0)=4-0^{3}=4,
portanto o ponto é (0,4).
  • Intercepto(s) com o eixo x (resolver 4-x^{3}=0):
x^{3}=4 \quad\Rightarrow\quad x=\sqrt[3]{4}.
Temos um único zero real x=\sqrt[3]{4}. Aproximação sem calculadora: 1{,}5^{3}=3{,}375 e 1{,}6^{3}=4{,}096, então \sqrt[3]{4}\approx1{,}587. Assim o intercepto em x é aproximadamente (\sqrt[3]{4},0)\approx(1{,}587,0).

Passo 4

Simetria da função.
  • Calcular f(-x)=4-(-x)^{3}=4+x^{3}. Como f(-x)\neq f(x) e f(-x)\neq -f(x) em geral, a função não é par nem ímpar; não há simetria par/ímpar simples.

Passo 5

Derivada e monotonicidade — por que a curva tem essa forma.
  • Derivada:
f'(x)=\frac{d}{dx}(4-x^{3})=-3x^{2}.
  • Análise do sinal: como x^{2}\ge0 para todo x, tem-se f'(x)=-3x^{2}\le0 para todo x, e f'(x)=0 apenas em x=0. Isso significa que a função é decrescente em todo o domínio; em x=0 a derivada muda de valor negativo para negativo passando por zero (não há máximo ou mínimo local isolado), isto corresponde a uma tangente horizontal em x=0.
Explicação didática curta: derivada negativa indica que quando x aumenta a função diminui; aqui isso vale para todos os x, logo a curva sempre desce da esquerda para a direita.

Passo 6

Segunda derivada e ponto de inflexão — onde a concavidade muda.
  • Segunda derivada:
f''(x)=\frac{d}{dx}(-3x^{2})=-6x.
  • Em x<0 temos f''(x)>0 (concavidade para cima). Em x>0 temos f''(x)<0 (concavidade para baixo). Em x=0 temos f''(0)=0 e troca de concavidade, logo x=0 é um ponto de inflexão. O ponto de inflexão é o mesmo que o intercepto em y: (0,4). É também onde a tangente é horizontal.

Passo 7

Comportamento para grandes valores de |x| (limites e “extremos” do gráfico).
  • Quando x\to+\infty, x^{3}\to+\infty e então y=4-x^{3}\to-\infty. A curva desce à direita sem limite inferior.
  • Quando x\to-\infty, x^{3}\to-\infty e então y=4-x^{3}\to+\infty. A curva sobe à esquerda sem limite superior.
    Isto concilia com a forma típica de uma cúbica: sobe à esquerda, desce à direita.

Passo 8

Tabela de pontos para desenhar à mão (pontos fáceis e informativos).
Calculemos alguns pontos inteiros e um ponto próximo à raiz:
  • x=-2: y=4-(-2)^{3}=4-(-8)=12 (-2,12).
  • x=-1: y=4-(-1)^{3}=4-(-1)=5 (-1,5).
  • x=0: y=4 (0,4) (inflexão, tangente horizontal).
  • x=1: y=4-1^{3}=3 (1,3).
  • x=2: y=4-8=-4 (2,-4).
  • Para aproximar a raiz: x=1{,}5: y=4-(1{,}5)^{3}=4-3{,}375=0{,}625 → próximo de zero; de fato a raiz em x\approx1{,}587 tem y=0.

Passo 9

Como montar o esboço do gráfico passo a passo (para fazer na prova, sem calculadora):
  1. Desenhe e marque os eixos x e y.
  2. Marque o ponto (0,4) — é o intercepto com y e o ponto de inflexão com tangente horizontal.
  3. Marque a raiz (\sqrt[3]{4},0) aproximadamente em x\approx1{,}587.
  4. Plote os pontos da tabela: (-2,12), (-1,5), (1,3), (2,-4). Esses pontos mostram que para x<0 a curva está alta (crescente quando olhada da direita para a esquerda) e para x>0 já está descendo.
  5. Lembre-se da concavidade: à esquerda de x=0 a curva é côncava para cima; à direita de x=0 côncava para baixo. Conecte suavemente os pontos respeitando que a função é sempre decrescente (nunca sobe) e que há uma inflexão em (0,4).
  6. Estenda a curva para cima à esquerda e para baixo à direita, sem assintotas horizontais ou verticais (comportamento \pm\infty já explicado).

Passo 10

Comentários finais, motivação e dica rápida:
  • Visualize y=4-x^{3} como a cúbica padrão y=-x^{3} deslocada para cima em 4 unidades. Isso ajuda a imaginar a forma: o sinal negativo inverte a cúbica padrão e o +4 a desloca.
  • Na prova: ache interceptos, derive para monotonicidade, calcule segunda derivada para concavidade/inflexão e trace alguns pontos-chave — esse roteiro é rápido e seguro.

Resposta

Gráfico: curva cúbica decrescente dada por y=4-x^{3}, domínio \mathbb{R}, intercepto em y no ponto (0,4) (que é ponto de inflexão com tangente horizontal), intercepto em x em x=\sqrt[3]{4}\approx1{,}587, monotonicidade: decrescente para todo x ( f'(x)=-3x^{2}\le0), concavidade: côncava para cima em x<0 e côncava para baixo em x>0; pontos de referência: (-2,12),(-1,5),(0,4),(1,3),(2,-4).

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