Construir gráficos em função o tempo para os casos seguintes de OHS, representando no eixo horizontal duas escalas: a escala de múltiplos e submúltiplos do período e a escala do ângulo de fase da oscilação.
\boldsymbol{x}(\boldsymbol{t})=\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{m}} \operatorname{sen}(\mathbf{1 , 0 0} \boldsymbol{t})

Passo 1

O enunciado dá a função do oscilador harmônico simples
x(t)=x_m\operatorname{sen}(1{,}00\,t)
Informações e o que é pedido:
  • A amplitude é \,x_m (constante positiva, não numérica).
  • O argumento do seno é 1{,}00\,t, ou seja a frequência angular é \omega=1{,}00\\ \mathrm{rad/s} (peguei isso do enunciado).
  • É pedido construir os gráficos de x(t) em função do tempo, representando no eixo horizontal duas escalas simultâneas:
    • escala de múltiplos e submúltiplos do período ( T, T/2, T/4, etc.);
    • escala do ângulo de fase da oscilação (valor de \varphi=\omega t, em radianos ou graus).
  • O objetivo é mostrar como marcar e relacionar essas duas escalas e indicar pontos chave do sinal ao longo do tempo.

Passo 2

Determinar o período e a relação entre tempo e fase.
  • Definição: para uma oscilação \sin(\omega t), a frequência angular \omega está relacionada ao período T por
T=\frac{2\pi}{\omega}.
Aqui \omega=1{,}00\\ \mathrm{rad/s}, logo
T=\frac{2\pi}{1{,}00}=2\pi\\ \mathrm{s}\approx 6{,}283\\ \mathrm{s}.
  • Relação tempo–fase: a fase instantânea \varphi (em radianos) é
\varphi=\omega t.
Portanto para converter um instante t em ângulo use \varphi=1{,}00\,t. Inversamente,
t=\frac{\varphi}{\omega}=\varphi\quad(\text{porque }\omega=1{,}00),
ou seja neste caso numérico \varphi (rad) e t (s) têm valores idênticos numericamente. Observação importante: mesmo que os números coincidam, as unidades são diferentes — t em segundos e \varphi em radianos.

Passo 3

Explicar o que desenhar no eixo vertical e no eixo horizontal (duas escalas).
  • Eixo vertical: desenhar x com amplitude variando de -x_m até +x_m. Marcar os níveis principais: -x_m,\,0,\,+x_m.
  • Eixo horizontal (duas escalas paralelas):
    • escala inferior (tempo): marque t em múltiplos/submúltiplos do período: por exemplo \,0,\;T/4,\;T/2,\;3T/4,\;T,\;5T/4,\;2T, e também alguns submúltiplos negativos se desejar ver simetria.
    • escala superior (fase): marque a fase correspondente \varphi=\omega t nos mesmos pontos: \,0,\;\pi/2,\;\pi,\;3\pi/2,\;2\pi,\;5\pi/2,\;4\pi, etc. (ou use graus: 0^\circ,90^\circ,180^\circ,\ldots).
  • Como consequência da relação do Passo 2, ao lado de cada marca de tempo t escreva também o valor \varphi=1{,}00\,t em radianos; por exemplo t=T/4 corresponde a \varphi=\pi/2.

Passo 4

Calcular pontos-chave ao longo de um período para plotar facilmente (peguei os valores da fórmula do seno).
Usar a identidade x(t)=x_m\sin(\varphi) com \varphi=\omega t. Os principais instantes e valores são:
  • Em t=0: \varphi=0,\qquad x(0)=x_m\sin(0)=0.
  • Em t=\dfrac{T}{4}=\dfrac{2\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}\\ \mathrm{s}: \varphi=\frac{\pi}{2},\qquad x\!\left(\frac{T}{4}\right)=x_m\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=x_m.
  • Em t=\dfrac{T}{2}=\pi\\ \mathrm{s}: \varphi=\pi,\qquad x\!\left(\frac{T}{2}\right)=x_m\sin(\pi)=0.
  • Em t=\dfrac{3T}{4}=\dfrac{3\pi}{2}\\ \mathrm{s}: \varphi=\frac{3\pi}{2},\qquad x\!\left(\frac{3T}{4}\right)=x_m\sin\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-x_m.
  • Em t=T=2\pi\\ \mathrm{s}: \varphi=2\pi,\qquad x(T)=x_m\sin(2\pi)=0.
Esses cinco pontos marcam a forma senoidal básica em um período completo. Para desenhar a curva com bom traço, completar com pontos intermediários (por exemplo t=T/8,\;3T/8, etc.) usando valores padrão do seno, mas os pontos acima já permitem esboçar corretamente.

Passo 5

Instruções passo a passo de como desenhar o gráfico (para fazer à mão na prova).
  1. Traçar o eixo vertical e marcar +x_m e -x_m.
  2. Traçar o eixo horizontal longo. Na escala inferior (tempo) marque: t=0,\;t=\frac{T}{4}=\frac{\pi}{2}\\ \mathrm{s},\;t=\frac{T}{2}=\pi\\ \mathrm{s},\;t=\frac{3T}{4}=\frac{3\pi}{2}\\ \mathrm{s},\;t=T=2\pi\\ \mathrm{s},e opcionalmente t=-\frac{T}{4},\;- \frac{T}{2} à esquerda para ver continuidade.
  3. Na mesma posição horizontal, sobreponha (ou faça um eixo conjunto acima) a escala da fase e escreva: \varphi=0,\;\varphi=\frac{\pi}{2},\;\varphi=\pi,\;\varphi=\frac{3\pi}{2},\;\varphi=2\pi.(lembrando que \varphi=1{,}00\,t, então numericamente t e \varphi coincidem aqui).
  4. Coloque os pontos calculados do Passo 4: em t=0 marque x=0; em t=T/4 marque x=+x_m; em t=T/2 marque x=0; em t=3T/4 marque x=-x_m; em t=T marque x=0.
  5. Ligue os pontos com a curva suave do seno (passando suavemente por esses pontos). Repita a forma para vários períodos se desejar.
  6. Opcional: escreva a fórmula ao lado do gráfico x(t)=x_m\sin(1{,}00\,t),e anote T=2\pi\\ \mathrm{s} e \varphi=\omega t.

Passo 6

Observações didáticas e dicas rápidas para a prova (motivação e truques).
  • Lembre-se: os valores do seno em pontos especiais facilitam muito o desenho: \sin(0)=0, \sin(\pi/2)=1, \sin(\pi)=0, \sin(3\pi/2)=-1, \sin(2\pi)=0.
  • Mesmo que \omega fosse diferente de 1{,}00, o procedimento é o mesmo; só mudaria T=\dfrac{2\pi}{\omega} e a conversão \varphi=\omega t.
  • Se quiser marcas em graus, basta converter: \pi/2=90^\circ,\\ \pi=180^\circ,\\\ 3\pi/2=270^\circ,\\\ 2\pi=360^\circ.
  • Como dica prática: marcar primeiro as posições onde x(t) é 0,\pm x_m ajuda a “ancorar” o desenho — depois é só arredondar entre esses pontos.

Resposta

Instruções completas para desenhar o gráfico de x(t)=x_m\operatorname{sen}(1{,}00\,t):
  • Período T=\dfrac{2\pi}{1{,}00}=2\pi\\ \mathrm{s}\approx 6{,}283\\ \mathrm{s}.
  • Marcar no eixo tempo (inferior): t=0,\;T/4=\dfrac{\pi}{2}\\ \mathrm{s},\;T/2=\pi\\ \mathrm{s},\;3T/4=\dfrac{3\pi}{2}\\ \mathrm{s},\;T=2\pi\\ \mathrm{s}.
  • Marcar no eixo fase (superior): \varphi=0,\;\dfrac{\pi}{2},\;\pi,\;\dfrac{3\pi}{2},\;2\pi (lembrando \varphi=\omega t e aqui \varphi=t numericamente).
  • Pontos-chave: x(0)=0,\;x(T/4)=+x_m,\;x(T/2)=0,\;x(3T/4)=-x_m,\;x(T)=0.
  • Desenhar curva senoidal suave ligando esses pontos e repetir para múltiplos de T se quiser ver períodos seguintes.

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