Construir gráficos em função o tempo para os casos seguintes de OHS, representando no eixo horizontal duas escalas: a escala de múltiplos e submúltiplos do período e a escala do ângulo de fase da oscilação.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (peguei a expressão do enunciado):
- Função da posição:
. - O enunciado pede: construir o gráfico de
em função do tempo, usando no eixo horizontal DUAS escalas simultâneas: - escala em múltiplos/submúltiplos do período (por exemplo
etc.); - escala em ângulo de fase da oscilação (ou seja
, em radianos ou graus).
- escala em múltiplos/submúltiplos do período (por exemplo
- Informações importantes dadas: a constante multiplicadora do tempo dentro do cosseno é
(unidade: rad/s). A amplitude geral é (mantemos simbólico).
Passo 2
Entender as fórmulas básicas (mini-aula curta e prática):
- Em Oscilação Harmônica Simples (OHS) a forma padrão é
. Aqui é a frequência angular (rad/s), é a amplitude (mesmas unidades de ) e é a fase inicial (aqui ). - A relação entre período
e é
Explicação: num ciclo completo a fase percorre
radianos; se em 1 segundo a fase varia
radianos, o tempo para
radianos é
.
- A fase instantânea é
. Para marcar a escala em ângulo, basta converter cada em .
Passo 3
Calcular o período e escrever as expressões específicas para este caso:
- Aqui
. Então
- Em unidades decimais:
. - A relação tempo ↔ fase é
Ou invertendo:
Passo 4
Escolher os pontos-chave que tipicamente se marcam num gráfico de cosseno (explicando o porquê):
- Valores de fase usuais e suas consequências para
: -
→ (máximo). -
→ (passa pela origem). -
→ (mínimo). -
. -
(um ciclo completo).
-
- Converter essas fases em tempos usando
. Calculemos os tempos e os valores de (vou também dar aproximações decimais para facilitar a marcação no papel):
Tabela de pontos principais (peguei
do enunciado):
- Podemos também marcar submúltiplos úteis como
(fase ) onde . Esses pontos ajudam a desenhar a forma suave do cosseno.]
Passo 5
Como montar as duas escalas no eixo horizontal (instrução passo a passo para desenhar):
- Eixo inferior (escala em tempos): marcar em unidades de
ou frações de . Como , é conveniente marcar: e ao lado de cada fração anotar o valor em segundos usando . - Eixo superior (escala de fase): diretamente acima de cada marca de tempo coloque o valor da fase
. Para as marcas acima ficam: Opcional: também pode colocar os equivalentes em graus . - Dica prática para o desenho no papel sem régua complexa: escolha uma escala horizontal (por exemplo 1 cm
ou outra à sua preferência), calcule a posição em cm de cada marca usando em segundos e desenhe a escala inferior; depois escreva a fase correspondente logo acima.
Passo 6
Desenhar a curva (como traçar ponto a ponto e o comportamento entre pontos):
- Eixo vertical: marque
no topo e abaixo (por exemplo, escolha 1 cm ou outra escala conveniente). - Pontos a colocar (use a tabela do Passo 4):
- em
coloque ; - em
(fase ) coloque ; - em
(fase ) coloque ; - em
(fase ) coloque ; - e assim por diante até
onde volta a .
- em
- Entre esses pontos faça uma curva suave de cosseno: começa no máximo, decresce com concavidade negativa até passar por zero em
, continua até o mínimo em , volta a subir etc. - Se quiser desenhar mais ciclos, repita o padrão periodicamente para
e para se necessário.
Passo 7
Valores numéricos práticos (resumo para colar no caderno e usar na prova):
- Período:
- Relação fase-tempo:
(rad). Em particular: - Ponto intermediário:
tem e .
Passo 8
Resumo final de como apresentar o gráfico em prova (passo a passo rápido)
- Calcule
. Escreva isso no enunciado do gráfico. - Faça o eixo
(horizontal) com marcas em frações de : . Escreva abaixo de cada marca o valor numérico em segundos (usar ). - Logo acima de cada marca escreva a fase correspondente
: . Pode também pôr os equivalentes em graus. - No eixo vertical marque
e . Plote os pontos listados no Passo 4 e ligue-os com uma curva suave de cosseno. - Rotule os eixos: eixo vertical
(unidades de ), eixo inferior (s) com frações de , eixo superior (rad). - Pronto — isso atende exatamente ao pedido de ter duas escalas (tempo em múltiplos/submúltiplos de
e ângulo de fase) e mostra a forma correta da OHS.
Resposta
Período:
.
Relação fase-tempo:
(rad), ou
.
Pontos de referência para plotagem:
0) ,
,
.
0)
-
, , . -
, , . -
, , . -
, , . -
, , .
Instrução de escala: eixo horizontal inferior em
com marcas
(usar
) e eixo horizontal superior alinhado com as mesmas marcas mostrando
. Eixo vertical de
a
.