Construir gráficos em função o tempo para os casos seguintes de OHS, representando no eixo horizontal duas escalas: a escala de múltiplos e submúltiplos do período e a escala do ângulo de fase da oscilação.
\boldsymbol{x}(\boldsymbol{t})=\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{m}} \boldsymbol{\operatorname { c o s }}(\mathbf{2 , 0 0 t})

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei a expressão do enunciado):
  • Função da posição: x(t)=x_{m}\operatorname{cos}\bigl(2{,}00\,t\bigr).
  • O enunciado pede: construir o gráfico de x(t) em função do tempo, usando no eixo horizontal DUAS escalas simultâneas:
    1. escala em múltiplos/submúltiplos do período (por exemplo 0,\;T/4,\;T/2,\;T, etc.);
    2. escala em ângulo de fase da oscilação (ou seja \varphi=\omega t, em radianos ou graus).
  • Informações importantes dadas: a constante multiplicadora do tempo dentro do cosseno é \omega = 2{,}00 (unidade: rad/s). A amplitude geral é x_{m} (mantemos simbólico).

Passo 2

Entender as fórmulas básicas (mini-aula curta e prática):
  • Em Oscilação Harmônica Simples (OHS) a forma padrão é x(t)=x_{m}\cos(\omega t+\phi_0). Aqui \omega é a frequência angular (rad/s), x_{m} é a amplitude (mesmas unidades de x) e \phi_0 é a fase inicial (aqui \phi_0=0).
  • A relação entre período T e \omega é
T=\frac{2\pi}{\omega}.
Explicação: num ciclo completo a fase percorre 2\pi radianos; se em 1 segundo a fase varia \omega radianos, o tempo para 2\pi radianos é 2\pi/\omega.
  • A fase instantânea é \varphi(t)=\omega t. Para marcar a escala em ângulo, basta converter cada t em \varphi.

Passo 3

Calcular o período e escrever as expressões específicas para este caso:
  • Aqui \omega=2{,}00\\ \text{rad/s}. Então
T=\frac{2\pi}{2{,}00}=\pi.
  • Em unidades decimais: T=\pi\approx 3{,}1416\\ \text{s}.
  • A relação tempo ↔ fase é
\varphi=\omega t=2{,}00\,t.
Ou invertendo:
t=\frac{\varphi}{2{,}00}.

Passo 4

Escolher os pontos-chave que tipicamente se marcam num gráfico de cosseno (explicando o porquê):
  • Valores de fase usuais e suas consequências para x:
    • \varphi=0\Rightarrow \cos(0)=1 x=x_{m} (máximo).
    • \varphi=\tfrac{\pi}{2}\Rightarrow \cos(\tfrac{\pi}{2})=0 x=0 (passa pela origem).
    • \varphi=\pi\Rightarrow \cos(\pi)=-1 x=-x_{m} (mínimo).
    • \varphi=\tfrac{3\pi}{2}\Rightarrow x=0.
    • \varphi=2\pi\Rightarrow x=x_{m} (um ciclo completo).
  • Converter essas fases em tempos usando t=\varphi/2{,}00. Calculemos os tempos e os valores de x (vou também dar aproximações decimais para facilitar a marcação no papel):
Tabela de pontos principais (peguei \omega=2{,}00 do enunciado):
\begin{array}{llll} \text{fase } \varphi & \text{tempo } t=\dfrac{\varphi}{2{,}00} & \text{valor } x(t) & \text{aprox. } t\\ (\text{s})\\[6pt] 0 & 0 & x_{m} & 0{,}0000\\[6pt] \dfrac{\pi}{2} & \dfrac{\pi}{4} & 0 & \dfrac{\pi}{4}\approx0{,}7854\\[6pt] \pi & \dfrac{\pi}{2} & -x_{m} & \dfrac{\pi}{2}\approx1{,}5708\\[6pt] \dfrac{3\pi}{2} & \dfrac{3\pi}{4} & 0 & \dfrac{3\pi}{4}\approx2{,}3562\\[6pt] 2\pi & \pi & x_{m} & \pi\approx3{,}1416 \end{array}
  • Podemos também marcar submúltiplos úteis como T/8 (fase \pi/4) onde \cos(\pi/4)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx0{,}7071. Esses pontos ajudam a desenhar a forma suave do cosseno.]

Passo 5

Como montar as duas escalas no eixo horizontal (instrução passo a passo para desenhar):
  • Eixo inferior (escala em tempos): marcar em unidades de T ou frações de T. Como T=\pi\\ \text{s}, é conveniente marcar: 0,\quad \tfrac{T}{8},\quad \tfrac{T}{4},\quad \tfrac{T}{2},\quad \tfrac{3T}{4},\quad Te ao lado de cada fração anotar o valor em segundos usando T=\pi.
  • Eixo superior (escala de fase): diretamente acima de cada marca de tempo coloque o valor da fase \varphi=\omega t. Para as marcas acima ficam: 0,\quad \tfrac{\pi}{4},\quad \tfrac{\pi}{2},\quad \pi,\quad \tfrac{3\pi}{2},\quad 2\pi.Opcional: também pode colocar os equivalentes em graus 0^\circ,\;45^\circ,\;90^\circ,\;180^\circ,\;270^\circ,\;360^\circ.
  • Dica prática para o desenho no papel sem régua complexa: escolha uma escala horizontal (por exemplo 1 cm \equiv 0{,}25T ou outra à sua preferência), calcule a posição em cm de cada marca usando t em segundos e desenhe a escala inferior; depois escreva a fase correspondente logo acima.

Passo 6

Desenhar a curva (como traçar ponto a ponto e o comportamento entre pontos):
  • Eixo vertical: marque +x_{m} no topo e -x_{m} abaixo (por exemplo, escolha 1 cm \equiv 0{,}2x_{m} ou outra escala conveniente).
  • Pontos a colocar (use a tabela do Passo 4):
    • em t=0 coloque x=x_{m};
    • em t=\tfrac{T}{8} (fase \pi/4) coloque x\approx0{,}7071\,x_{m};
    • em t=\tfrac{T}{4} (fase \pi/2) coloque x=0;
    • em t=\tfrac{T}{2} (fase \pi) coloque x=-x_{m};
    • e assim por diante até t=T onde volta a x_{m}.
  • Entre esses pontos faça uma curva suave de cosseno: começa no máximo, decresce com concavidade negativa até passar por zero em T/4, continua até o mínimo em T/2, volta a subir etc.
  • Se quiser desenhar mais ciclos, repita o padrão periodicamente para t>T e para t<0 se necessário.

Passo 7

Valores numéricos práticos (resumo para colar no caderno e usar na prova):
  • Período: T=\pi\\ \text{s}\approx3{,}1416\\ \text{s}.
  • Relação fase-tempo: \varphi(t)=2{,}00\,t (rad). Em particular: \begin{aligned} t&=0 &\Rightarrow&\\ \varphi=0 &\Rightarrow&\\ x=x_{m}\\\ t&=\tfrac{\pi}{4}\approx0{,}7854\\ \text{s} &\Rightarrow&\\ \varphi=\tfrac{\pi}{2} &\Rightarrow&\\ x=0\\\ t&=\tfrac{\pi}{2}\approx1{,}5708\\ \text{s} &\Rightarrow&\\ \varphi=\pi &\Rightarrow&\\ x=-x_{m}\\\ t&=\tfrac{3\pi}{4}\approx2{,}3562\\ \text{s} &\Rightarrow&\\ \varphi=\tfrac{3\pi}{2} &\Rightarrow&\\ x=0\\\ t&=\pi\approx3{,}1416\\ \text{s} &\Rightarrow&\\ \varphi=2\pi &\Rightarrow&\\ x=x_{m} \end{aligned}
  • Ponto intermediário: t=\tfrac{\pi}{8}\approx0{,}3927\\ \text{s} tem \varphi=\tfrac{\pi}{4} e x\approx0{,}7071\,x_{m}.

Passo 8

Resumo final de como apresentar o gráfico em prova (passo a passo rápido)
  1. Calcule T=\dfrac{2\pi}{\omega}=\pi\\ \text{s}. Escreva isso no enunciado do gráfico.
  2. Faça o eixo x (horizontal) com marcas em frações de T: 0,\;T/8,\;T/4,\;T/2,\;3T/4,\;T. Escreva abaixo de cada marca o valor numérico em segundos (usar T=\pi).
  3. Logo acima de cada marca escreva a fase correspondente \varphi=\omega t: 0,\;\pi/4,\;\pi/2,\;\pi,\;3\pi/2,\;2\pi. Pode também pôr os equivalentes em graus.
  4. No eixo vertical marque +x_{m} e -x_{m}. Plote os pontos listados no Passo 4 e ligue-os com uma curva suave de cosseno.
  5. Rotule os eixos: eixo vertical x(t) (unidades de x), eixo inferior t (s) com frações de T, eixo superior \varphi=\omega t (rad).
  6. Pronto — isso atende exatamente ao pedido de ter duas escalas (tempo em múltiplos/submúltiplos de T e ângulo de fase) e mostra a forma correta da OHS.

Resposta

Período: T=\pi\\ \text{s}\approx3{,}1416\\ \text{s}.
Relação fase-tempo: \varphi(t)=2{,}00\,t (rad), ou t=\dfrac{\varphi}{2{,}00}.
Pontos de referência para plotagem:
0) t=0, \varphi=0, x=x_{m}.
  1. t=\dfrac{\pi}{8}\approx0{,}3927\\ \text{s}, \varphi=\dfrac{\pi}{4}, x\approx0{,}7071\,x_{m}.
  2. t=\dfrac{\pi}{4}\approx0{,}7854\\ \text{s}, \varphi=\dfrac{\pi}{2}, x=0.
  3. t=\dfrac{\pi}{2}\approx1{,}5708\\ \text{s}, \varphi=\pi, x=-x_{m}.
  4. t=\dfrac{3\pi}{4}\approx2{,}3562\\ \text{s}, \varphi=\dfrac{3\pi}{2}, x=0.
  5. t=\pi\approx3{,}1416\\ \text{s}, \varphi=2\pi, x=x_{m}.
Instrução de escala: eixo horizontal inferior em t com marcas 0,\;T/8,\;T/4,\;T/2,\;3T/4,\;T (usar T=\pi) e eixo horizontal superior alinhado com as mesmas marcas mostrando \varphi=0,\;\pi/4,\;\pi/2,\;\pi,\;3\pi/2,\;2\pi. Eixo vertical de -x_{m} a +x_{m}.

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