Construir as linhas de nível das funções dadas e verificar o caracter das superfícies representadas por estas funções:
z=x+y

Passo 1

O enunciado pede que, para a função
z = x + y,
a) construamos as linhas de nível, isto é, os conjuntos
\{(x,y)\mid f(x,y)=c\}
para constantes c, e
b) verifiquemos o caráter da superfície definida por z=x+y.

Passo 2

Para cada valor real c, a linha de nível é dada por
x + y = c.
Isolando y, obtemos a forma explícita
y = c - x.

Passo 3

Cada equação y = c - x representa, no plano xy, uma reta de coeficiente angular -1 e intercepto c no eixo y. Variando c, ficamos com uma família de retas paralelas, todas com inclinação -1 e espaçadas verticalmente conforme c.

Passo 4

O gráfico de z=x+y em \mathbb{R}^3 é uma superfície plana, pois é a solução de uma equação linear em x,y,z. Essa superfície é um plano inclinado de normal (1,1,-1), é desenvolvível (não tem curvatura intrínseca) e é gerado por retas (superfície régria).

Resposta

Linhas de nível:
x + y = c,\quad c\in\mathbb{R},
que são retas no plano xy de inclinação -1.
Caráter da superfície: trata-se de um plano inclinado em \mathbb{R}^3.

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