Determine e faça o esboço do domínio da função.
u(x ; y ; z)=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine o domínio e faça um esboço do domínio da função de três variáveis
u(x,y,z)=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}.
O conteúdo aqui é domínio de funções reais de várias variáveis, e vamos precisar lembrar que a raiz quadrada exige argumento não negativo.

Passo 2

Para cada termo \sqrt{x}, \sqrt{y} e \sqrt{z} é necessário que o radicando seja maior ou igual a zero. Logo, as condições são
x \ge 0,\quad y \ge 0,\quad z \ge 0.

Passo 3

A união dessas três condições delimita o domínio D como o conjunto de todos os pontos (x,y,z) em \mathbb{R}^3 que satisfazem simultaneamente
x\ge0,\quad y\ge0,\quad z\ge0.

Passo 4

O esboço desse domínio é o primeiro octante do espaço tridimensional, ou seja, a região limitada pelos três planos coordenados xy, xz e yz, com todas as coordenadas não negativas. Num desenho, basta traçar os eixos x, y e z e sombrear a região onde x, y e z são maiores ou iguais a zero.

Resposta

O domínio é
D = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x\ge0,\;y\ge0,\;z\ge0\},
isto é, o primeiro octante de \mathbb{R}^3.

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