Construir o modelo matemático de programação linear dos sistemas descritos a seguir:
Uma empresa fabrica 2 modelos de cintos de couro. O modelo M1, de melhor qualidade, requer o dobro do tempo de fabricaçăo em relaçăo ao modelo M2. Se todos os cintos fossem do modelo M2, a empresa poderia produzir 1.000 unidades por dia. A disponibilidade de couro permite fabricar 800 cintos de ambos os modelos por dia. Os cintos empregam fivelas diferentes, cuja disponibilidade diária é de 400 para M1 e 700 para M2. Os lucros unitários são de $4,00 para M1 e$ 3,00 para M2. Qual o programa ótimo de produçăo que maximiza o lucro total diário da empresa? Construa, o modelo do sistema descrito.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e os dados que temos (sem resolver ainda).
Pergunta do enunciado:
  • Qual o programa ótimo de produção que maximiza o lucro total diário da empresa?
Informações relevantes dadas:
  • Existem dois modelos de cintos: modelo M1 (melhor qualidade) e modelo M2.
  • O tempo de fabricação de M1 é o dobro do tempo de M2.
  • Se todos fossem M2, a empresa poderia produzir 1000 unidades por dia.
  • A disponibilidade de couro permite fabricar no máximo 800 cintos por dia (somando ambos os modelos).
  • Disponibilidade de fivelas: 400 para M1 e 700 para M2 por dia.
  • Lucro unitário: \$4,00 para M1 e \$3,00 para M2.
Variáveis que vou usar (já definidas para a modelagem):
  • x_1 = número de cintos do modelo M1 produzidos por dia.
  • x_2 = número de cintos do modelo M2 produzidos por dia.

Passo 2

Construção das restrições do modelo — explicando cada uma passo a passo.
  1. Restrição de tempo de fabricação.
    Explicação didática: podemos medir o tempo em “unidades de tempo necessárias para fabricar um M2”. Como M2 exige 1 unidade de tempo e M1 exige o dobro, M1 consome 2 unidades de tempo. Se todos fossem M2, o total de tempo disponível permitem 1000 M2; isso significa que a capacidade total de tempo é equivalente a 1000 unidades de tempo (cada unidade = tempo de 1 M2). Assim:
\text{tempo usado} = 2x_1 + 1x_2 \le 1000.
Detalhe: aqui 2x_1 representa “duas unidades de tempo por cada M1” e x_2 representa “uma unidade de tempo por cada M2”; o lado direito 1000 é a capacidade total de tempo convertida em unidades de M2.
  1. Restrição de couro (matéria-prima).
    Explicação: o couro é contado por cinto pronto; a disponibilidade total permite fabricar no máximo 800 cintos, independentemente do modelo. Assim:
x_1 + x_2 \le 800.
Aqui x_1 + x_2 é o total de cintos produzidos.
  1. Restrição de fivelas.
    Explicação: existem fivelas específicas para cada modelo, então cada modelo tem seu próprio limite:
x_1 \le 400 \quad\text{(fivelas para M1)}
x_2 \le 700 \quad\text{(fivelas para M2)}
  1. Não negatividade (obrigatória em programação linear):
x_1 \ge 0,\qquad x_2 \ge 0.

Passo 3

Função objetivo — construir e explicar.
Queremos maximizar o lucro total diário. Cada M1 dá lucro \$4 e cada M2 dá lucro \$3. Se x_1 e x_2 são quantidades produzidas, o lucro total é:
\text{Lucro} = 4x_1 + 3x_2.
Portanto o problema de programação linear é:
Maximizar
Z = 4x_1 + 3x_2
sujeito a
\begin{cases} 2x_1 + x_2 \le 1000,\\[4pt] x_1 + x_2 \le 800,\\[4pt] x_1 \le 400,\\[4pt] x_2 \le 700,\\[4pt] x_1 \ge 0,\; x_2 \ge 0. \end{cases}]

Passo 4

Estratégia para resolver — teoria rápida (Teorema do ponto extremo / método gráfico).
Explicação didática: em programação linear com duas variáveis, o máximo do objetivo (se existir e região factível for poligonal limitada) ocorre em um vértice (ponto extremo) da região factível. Então eu vou:
  • identificar os vértices candidatos da região definida pelas desigualdades;
  • calcular o valor da função objetivo Z em cada vértice;
  • escolher o vértice que dá maior Z.
Vou obter os vértices encontrando interseções das retas correspondentes às restrições ativas (igualdades) e também os pontos nos limites dos eixos.

Passo 5

Determinação dos vértices factíveis: resolver interseções das restrições ativas.
Listo as retas (igualdades) correspondentes às restrições:
\begin{aligned} &\text{(T)} && 2x_1 + x_2 = 1000,\\\ &\text{\text{(C)}} && x_1 + x_2 = 800,\\\ &\text{(F1)} && x_1 = 400,\\\ &\text{(F2)} && x_2 = 700,\\\ &\text{(Eixos)} && x_1 = 0,\; x_2 = 0. \end{aligned}
Agora calculo interseções relevantes (só as que potencialmente satisfazem todas as desigualdades):
a) Interseção de (T) com (C). Resolver
\begin{cases} 2x_1 + x_2 = 1000,\\\ x_1 + x_2 = 800. \end{cases}
Subtraindo a segunda da primeira: (2x_1+x_2) - (x_1+x_2) = 1000-800 \Rightarrow x_1 = 200. Então x_2 = 800 - x_1 = 600. Ponto: (x_1,x_2) = (200,600).
b) Interseção de (F1) com (T). Substituir x_1=400 em (T):
2\cdot 400 + x_2 = 1000 \Rightarrow x_2 = 1000 - 800 = 200.
Ponto: (400,200). Verificar se satisfaz as demais restrições: x_1+x_2=600\le800, x_2=200\le700 OK.
c) Interseção de (F1) com (C). Substituir x_1=400 em (C):
400 + x_2 = 800 \Rightarrow x_2 = 400.
Ponto (400,400), mas checar (T): 2\cdot400 + 400 = 1200 > 1000 — portanto esse ponto NÃO é factível (viola tempo). Descartar.
d) Interseção de (F2) com (C). Substituir x_2=700 em (C):
x_1 + 700 = 800 \Rightarrow x_1 = 100.
Ponto (100,700). Verificar (T): 2\cdot100 +700 = 900 \le1000 OK.
e) Interseção de (F2) com (T). Substituir x_2=700 em (T):
2x_1 + 700 = 1000 \Rightarrow x_1 = 150.
Ponto (150,700). Verificar (C): 150+700 = 850 >800 — viola couro. Descartar.
f) Pontos nos eixos com limites de fivelas: (0,700) (usar limite fivelas M2), (400,0) (usar limite fivelas M1). Ambos satisfazem as outras restrições: checar rapidamente:
  • (0,700): tempo =700\le1000, couro =700\le800 OK.
  • (400,0): tempo =800\le1000, couro =400\le800 OK.
g) Origem (0,0) também é vértice trivial, mas óbvio que não maximiza lucro.
Resumo dos vértices factíveis que restaram:
(0,0),\quad (400,0),\quad (400,200),\quad (200,600),\quad (100,700),\quad (0,700).

Passo 6

Calcular o valor da função objetivo Z=4x_1+3x_2 em cada vértice factível.
Faço isso um por um:
  1. Em (0,0):
Z = 4\cdot 0 + 3\cdot 0 = 0.
  1. Em (400,0):
Z = 4\cdot 400 + 3\cdot 0 = 1600.
  1. Em (400,200):
Z = 4\cdot 400 + 3\cdot 200 = 1600 + 600 = 2200.
  1. Em (200,600):
Z = 4\cdot 200 + 3\cdot 600 = 800 + 1800 = 2600.
  1. Em (100,700):
Z = 4\cdot 100 + 3\cdot 700 = 400 + 2100 = 2500.
  1. Em (0,700):
Z = 4\cdot 0 + 3\cdot 700 = 2100.

Passo 7

Escolher a solução ótima e interpretar.
Os valores de Z calculados nos vértices mostram que o maior lucro é
Z_{\max} = 2600
obtido no ponto (x_1,x_2) = (200,600).
Interpretação prática: produzir 200 cintos do modelo M1 e 600 do modelo M2 por dia consome:
  • tempo: 2\cdot200 + 600 = 400 + 600 = 1000 (capacidade total de tempo usada),
  • couro: 200 + 600 = 800 (capacidade de couro usada),
  • fivelas M1: 200 \le 400 (sobram fivelas M1),
  • fivelas M2: 600 \le 700 (sobram fivelas M2).
Ou seja, a solução usa totalmente os recursos tempo e couro, enquanto as fivelas não foram o gargalo para ambos os modelos (sobrou fivelas).

Resposta

x_1 = 200,\; x_2 = 600,\; \text{lucro máximo} = \$2600á

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