Construir o modelo matemático de programação linear dos sistemas descritos a seguir:
Uma empresa fabrica 2 modelos de cintos de couro. O modelo M1, de melhor qualidade, requer o dobro do tempo de fabricaçăo em relaçăo ao modelo M2. Se todos os cintos fossem do modelo M2, a empresa poderia produzir 1.000 unidades por dia. A disponibilidade de couro permite fabricar 800 cintos de ambos os modelos por dia. Os cintos empregam fivelas diferentes, cuja disponibilidade diária é de 400 para M1 e 700 para M2. Os lucros unitários são de $4,00 para M1 e$ 3,00 para M2. Qual o programa ótimo de produçăo que maximiza o lucro total diário da empresa? Construa, o modelo do sistema descrito.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e os dados que temos (sem resolver ainda).
Pergunta do enunciado:
Qual o programa ótimo de produção que maximiza o lucro total diário da empresa?
Informações relevantes dadas:
Existem dois modelos de cintos: modelo M1 (melhor qualidade) e modelo M2.
O tempo de fabricação de M1 é o dobro do tempo de M2.
Se todos fossem M2, a empresa poderia produzir 1000 unidades por dia.
A disponibilidade de couro permite fabricar no máximo 800 cintos por dia (somando ambos os modelos).
Disponibilidade de fivelas: 400 para M1 e 700 para M2 por dia.
Lucro unitário: \$4,00 para M1 e \$3,00 para M2.
Variáveis que vou usar (já definidas para a modelagem):
x_1 = número de cintos do modelo M1 produzidos por dia.
x_2 = número de cintos do modelo M2 produzidos por dia.
Passo 2
Construção das restrições do modelo — explicando cada uma passo a passo.
Restrição de tempo de fabricação.
Explicação didática: podemos medir o tempo em “unidades de tempo necessárias para fabricar um M2”. Como M2 exige 1 unidade de tempo e M1 exige o dobro, M1 consome 2 unidades de tempo. Se todos fossem M2, o total de tempo disponível permitem 1000 M2; isso significa que a capacidade total de tempo é equivalente a 1000 unidades de tempo (cada unidade = tempo de 1 M2). Assim:
\text{tempo usado} = 2x_1 + 1x_2 \le 1000.
Detalhe: aqui 2x_1 representa “duas unidades de tempo por cada M1” e x_2 representa “uma unidade de tempo por cada M2”; o lado direito 1000 é a capacidade total de tempo convertida em unidades de M2.
Restrição de couro (matéria-prima).
Explicação: o couro é contado por cinto pronto; a disponibilidade total permite fabricar no máximo 800 cintos, independentemente do modelo. Assim:
x_1 + x_2 \le 800.
Aqui x_1 + x_2 é o total de cintos produzidos.
Restrição de fivelas.
Explicação: existem fivelas específicas para cada modelo, então cada modelo tem seu próprio limite:
x_1 \le 400 \quad\text{(fivelas para M1)}
x_2 \le 700 \quad\text{(fivelas para M2)}
Não negatividade (obrigatória em programação linear):
x_1 \ge 0,\qquad x_2 \ge 0.
Passo 3
Função objetivo — construir e explicar.
Queremos maximizar o lucro total diário. Cada M1 dá lucro \$4 e cada M2 dá lucro \$3. Se x_1 e x_2 são quantidades produzidas, o lucro total é:
Estratégia para resolver — teoria rápida (Teorema do ponto extremo / método gráfico).
Explicação didática: em programação linear com duas variáveis, o máximo do objetivo (se existir e região factível for poligonal limitada) ocorre em um vértice (ponto extremo) da região factível. Então eu vou:
identificar os vértices candidatos da região definida pelas desigualdades;
calcular o valor da função objetivo Z em cada vértice;
escolher o vértice que dá maior Z.
Vou obter os vértices encontrando interseções das retas correspondentes às restrições ativas (igualdades) e também os pontos nos limites dos eixos.
Passo 5
Determinação dos vértices factíveis: resolver interseções das restrições ativas.
Listo as retas (igualdades) correspondentes às restrições:
f) Pontos nos eixos com limites de fivelas: (0,700) (usar limite fivelas M2), (400,0) (usar limite fivelas M1). Ambos satisfazem as outras restrições: checar rapidamente:
(0,700): tempo =700\le1000, couro =700\le800 OK.
(400,0): tempo =800\le1000, couro =400\le800 OK.
g) Origem (0,0) também é vértice trivial, mas óbvio que não maximiza lucro.