Questão 2. Demonstração de que
é um espaço vetorial
Considere em
as operações canônicas
e
Mostre que
é um espaço vetorial sobre
. Para organizar sua demonstração, descreva e prove as seguintes propriedades:
a) associatividade da adição;
b) comutatividade da adição;
c) existência do vetor nulo;
d) existência do inverso aditivo;
e) associatividade da multiplicação por escalar;
f) existência do elemento neutro da multiplicação por escalar;
g) distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores;
h) distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares.
a) associatividade da adição;
b) comutatividade da adição;
c) existência do vetor nulo;
d) existência do inverso aditivo;
e) associatividade da multiplicação por escalar;
f) existência do elemento neutro da multiplicação por escalar;
g) distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores;
h) distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto
, equipado com as operações
e
é um espaço vetorial sobre
. Para isso, o enunciado organiza a demonstração pedindo prova das propriedades abaixo (para vetores arbitrários
e escalares
):
a) associatividade da adição;
b) comutatividade da adição;
c) existência do vetor nulo;
d) existência do inverso aditivo;
e) associatividade da multiplicação por escalar;
f) existência do elemento neutro da multiplicação por escalar;
g) distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores;
h) distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares.
a) associatividade da adição;
b) comutatividade da adição;
c) existência do vetor nulo;
d) existência do inverso aditivo;
e) associatividade da multiplicação por escalar;
f) existência do elemento neutro da multiplicação por escalar;
g) distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores;
h) distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares.
Vou provar cada item de forma direta, trabalhando componente a componente e explicando os fatos sobre os números reais que uso em cada passo.
Passo 2
Prova da associatividade da adição (item a).
Escolha
,
e
em
. Calculo primeiro
:
Agora calculo
:
Pelos números reais sabemos que a adição é associativa, isto é,
e
. Portanto as duas componentes coincidem, e concluímos
Assim a adição em
é associativa.
Passo 3
Prova da comutatividade da adição (item b).
Sejam
e
em
. Então
e
Como a adição em
é comutativa,
e
. Logo as duas somas são iguais e
Assim a adição em
é comutativa.
Passo 4
Prova da existência do vetor nulo (item c).
Proponho o vetor
, onde cada coordenada é o número real
. Para qualquer
temos
pois
para todo
. Assim
é um elemento neutro para a adição em
; ou seja, o vetor nulo existe.
Comentário didático curto: o vetor nulo é simplesmente o par de zeros, porque somar zero a cada componente não altera o vetor.
Passo 5
Prova da existência do inverso aditivo (item d).
Dado um vetor
, defina
, onde
e
são os inversos aditivos em
. Então
porque
em
. Assim todo vetor
tem um inverso aditivo
em
.
Observação prática: para encontrar o oposto de um vetor na prova ou na prova de um exercício, basta mudar o sinal em cada componente.
Passo 6
Prova da associatividade da multiplicação por escalar (item e).
Sejam
e
. Calculo primeiro
:
Agora calculo
:
Pela associatividade da multiplicação em
temos
para
. Portanto
Isso prova a propriedade pedida.
Passo 7
Prova da existência do elemento neutro da multiplicação por escalar (item f).
O elemento neutro dos escalares em
é
. Para qualquer
temos
pois
para todo
. Portanto o escalar
atua como elemento neutro:
.
Dica prática: lembrar sempre que o
dos escalares deixa o vetor igual.
Passo 8
Prova da distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores (item g).
Sejam
e
,
em
. Calculo
:
Pela distributividade em
temos
para
. Assim
Por outro lado
Portanto
Exemplo numérico rápido para fixar: se
,
e
, então
,
e
. Funciona!
Passo 9
Prova da distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares (item h).
Sejam
e
. Calculo
:
Pela distributividade em
temos
para
. Assim
Por outro lado
Logo
Passo 10
Conclusão final e comentário pedagógico.
Mostramos diretamente, usando propriedades elementares dos números reais (associatividade, comutatividade e distributividade da soma e da multiplicação em
, existência de
, existência de inversos aditivos, existência de
), que todas as propriedades pedidas (a)–(h) valem para as operações definidas em
. Essas propriedades são precisamente os axiomas que definem um espaço vetorial sobre o corpo
. Portanto
, com a soma e a multiplicação por escalares dadas no enunciado, satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial.
Força aí — na prova, a ideia é sempre escrever o cálculo componente a componente como fiz aqui; é rápido e seguro.
Resposta
Sim.
com as operações definidas é um espaço vetorial sobre
.