Questão 2. Demonstração de que \mathbb{R}^{2} é um espaço vetorial

Considere em \mathbb{R}^{2} as operações canônicas
\left(u_{1}, u_{2}\right)+\left(v_{1}, v_{2}\right)=\left(u_{1}+v_{1}, u_{2}+v_{2}\right)
e
\lambda\left(u_{1}, u_{2}\right)=\left(\lambda u_{1}, \lambda u_{2}\right), \quad \lambda \in \mathbb{R} .
Mostre que \mathbb{R}^{2} é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}. Para organizar sua demonstração, descreva e prove as seguintes propriedades:
a) associatividade da adição;
b) comutatividade da adição;
c) existência do vetor nulo;
d) existência do inverso aditivo;
e) associatividade da multiplicação por escalar;
f) existência do elemento neutro da multiplicação por escalar;
g) distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores;
h) distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto \mathbb{R}^{2}, equipado com as operações
(u_{1},u_{2})+(v_{1},v_{2})=(u_{1}+v_{1},\,u_{2}+v_{2})
e
\lambda(u_{1},u_{2})=(\lambda u_{1},\,\lambda u_{2}),\quad \lambda\in\mathbb{R},
é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}. Para isso, o enunciado organiza a demonstração pedindo prova das propriedades abaixo (para vetores arbitrários u,v,w\in\mathbb{R}^{2} e escalares \lambda,\mu\in\mathbb{R}):
a) associatividade da adição;
b) comutatividade da adição;
c) existência do vetor nulo;
d) existência do inverso aditivo;
e) associatividade da multiplicação por escalar;
f) existência do elemento neutro da multiplicação por escalar;
g) distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores;
h) distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares.
Vou provar cada item de forma direta, trabalhando componente a componente e explicando os fatos sobre os números reais que uso em cada passo.

Passo 2

Prova da associatividade da adição (item a).
Escolha u=(u_{1},u_{2}), v=(v_{1},v_{2}) e w=(w_{1},w_{2}) em \mathbb{R}^{2}. Calculo primeiro (u+v)+w:
u+v=(u_{1}+v_{1},\,u_{2}+v_{2}),
(u+v)+w=((u_{1}+v_{1})+w_{1},\,(u_{2}+v_{2})+w_{2}).
Agora calculo u+(v+w):
v+w=(v_{1}+w_{1},\,v_{2}+w_{2}),
u+(v+w)=(u_{1}+(v_{1}+w_{1}),\,u_{2}+(v_{2}+w_{2})).
Pelos números reais sabemos que a adição é associativa, isto é, (u_{1}+v_{1})+w_{1}=u_{1}+(v_{1}+w_{1}) e (u_{2}+v_{2})+w_{2}=u_{2}+(v_{2}+w_{2}). Portanto as duas componentes coincidem, e concluímos
(u+v)+w = u+(v+w).
Assim a adição em \mathbb{R}^{2} é associativa.

Passo 3

Prova da comutatividade da adição (item b).
Sejam u=(u_{1},u_{2}) e v=(v_{1},v_{2}) em \mathbb{R}^{2}. Então
u+v=(u_{1}+v_{1},\,u_{2}+v_{2})
e
v+u=(v_{1}+u_{1},\,v_{2}+u_{2}).
Como a adição em \mathbb{R} é comutativa, u_{1}+v_{1}=v_{1}+u_{1} e u_{2}+v_{2}=v_{2}+u_{2}. Logo as duas somas são iguais e
u+v=v+u.
Assim a adição em \mathbb{R}^{2} é comutativa.

Passo 4

Prova da existência do vetor nulo (item c).
Proponho o vetor 0=(0,0), onde cada coordenada é o número real 0. Para qualquer u=(u_{1},u_{2}) temos
u+0=(u_{1}+0,\,u_{2}+0)=(u_{1},\,u_{2})=u,
pois x+0=x para todo x\in\mathbb{R}. Assim 0 é um elemento neutro para a adição em \mathbb{R}^{2}; ou seja, o vetor nulo existe.
Comentário didático curto: o vetor nulo é simplesmente o par de zeros, porque somar zero a cada componente não altera o vetor.

Passo 5

Prova da existência do inverso aditivo (item d).
Dado um vetor u=(u_{1},u_{2}), defina -u=(-u_{1},-u_{2}), onde -u_{1} e -u_{2} são os inversos aditivos em \mathbb{R}. Então
u+(-u)=(u_{1}+(-u_{1}),\,u_{2}+(-u_{2}))=(0,0)=0,
porque x+(-x)=0 em \mathbb{R}. Assim todo vetor u tem um inverso aditivo -u em \mathbb{R}^{2}.
Observação prática: para encontrar o oposto de um vetor na prova ou na prova de um exercício, basta mudar o sinal em cada componente.

Passo 6

Prova da associatividade da multiplicação por escalar (item e).
Sejam \lambda,\mu\in\mathbb{R} e u=(u_{1},u_{2})\in\mathbb{R}^{2}. Calculo primeiro (\lambda\mu)u:
(\lambda\mu)u = ((\lambda\mu)u_{1},\,(\lambda\mu)u_{2}).
Agora calculo \lambda(\mu u):
\mu u=(\mu u_{1},\,\mu u_{2}),
\lambda(\mu u)=(\lambda(\mu u_{1}),\,\lambda(\mu u_{2})).
Pela associatividade da multiplicação em \mathbb{R} temos (\lambda\mu)u_{i}=\lambda(\mu u_{i}) para i=1,2. Portanto
(\lambda\mu)u=\lambda(\mu u).
Isso prova a propriedade pedida.

Passo 7

Prova da existência do elemento neutro da multiplicação por escalar (item f).
O elemento neutro dos escalares em \mathbb{R} é 1. Para qualquer u=(u_{1},u_{2}) temos
1\cdot u=(1\cdot u_{1},\,1\cdot u_{2})=(u_{1},\,u_{2})=u,
pois 1\cdot x=x para todo x\in\mathbb{R}. Portanto o escalar 1 atua como elemento neutro: 1u=u.
Dica prática: lembrar sempre que o 1 dos escalares deixa o vetor igual.

Passo 8

Prova da distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores (item g).
Sejam \lambda\in\mathbb{R} e u=(u_{1},u_{2}), v=(v_{1},v_{2}) em \mathbb{R}^{2}. Calculo \lambda(u+v):
u+v=(u_{1}+v_{1},\,u_{2}+v_{2}),
\lambda(u+v)=(\lambda(u_{1}+v_{1}),\,\lambda(u_{2}+v_{2})).
Pela distributividade em \mathbb{R} temos \lambda(u_{i}+v_{i})=\lambda u_{i}+\lambda v_{i} para i=1,2. Assim
\lambda(u+v)=(\lambda u_{1}+\lambda v_{1},\,\lambda u_{2}+\lambda v_{2}).
Por outro lado
\lambda u + \lambda v = (\lambda u_{1},\,\lambda u_{2})+(\lambda v_{1},\,\lambda v_{2})=(\lambda u_{1}+\lambda v_{1},\,\lambda u_{2}+\lambda v_{2}).
Portanto
\lambda(u+v)=\lambda u+\lambda v.
Exemplo numérico rápido para fixar: se \lambda=2, u=(1,3) e v=(4,-1), então u+v=(5,2), 2(u+v)=(10,4) e 2u+2v=(2,6)+(8,-2)=(10,4). Funciona!

Passo 9

Prova da distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares (item h).
Sejam \lambda,\mu\in\mathbb{R} e u=(u_{1},u_{2})\in\mathbb{R}^{2}. Calculo (\lambda+\mu)u:
(\lambda+\mu)u=((\lambda+\mu)u_{1},\,(\lambda+\mu)u_{2}).
Pela distributividade em \mathbb{R} temos (\lambda+\mu)u_{i}=\lambda u_{i}+\mu u_{i} para i=1,2. Assim
(\lambda+\mu)u=(\lambda u_{1}+\mu u_{1},\,\lambda u_{2}+\mu u_{2}).
Por outro lado
\lambda u + \mu u = (\lambda u_{1},\,\lambda u_{2})+(\mu u_{1},\,\mu u_{2})=(\lambda u_{1}+\mu u_{1},\,\lambda u_{2}+\mu u_{2}).
Logo
(\lambda+\mu)u=\lambda u + \mu u.

Passo 10

Conclusão final e comentário pedagógico.
Mostramos diretamente, usando propriedades elementares dos números reais (associatividade, comutatividade e distributividade da soma e da multiplicação em \mathbb{R}, existência de 0, existência de inversos aditivos, existência de 1), que todas as propriedades pedidas (a)–(h) valem para as operações definidas em \mathbb{R}^{2}. Essas propriedades são precisamente os axiomas que definem um espaço vetorial sobre o corpo \mathbb{R}. Portanto \mathbb{R}^{2}, com a soma e a multiplicação por escalares dadas no enunciado, satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial.
Força aí — na prova, a ideia é sempre escrever o cálculo componente a componente como fiz aqui; é rápido e seguro.

Resposta

Sim. \mathbb{R}^{2} com as operações definidas é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

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