Construir o modelo matemático de programação linear dos sistemas descritos a seguir:
Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapatos, e 5 cintos por hora, se fizer somente cintos. Ele gasta 2 unidades de couro para fabricar 1 unidade de sapato e 1 unidade de couro para fabricar uma unidade de cinto. Sabendose que o total disponível de couro é de 6 unidades e que o lucro unitário por sapato é de 5 unidades monetárias e o do cinto é de 2 unidades monetárias, pede-se: o modelo do sistema de produçăo do sapateiro, se o objetivo é maximizar seu lucro por hora.
Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapatos, e 5 cintos por hora, se fizer somente cintos. Ele gasta 2 unidades de couro para fabricar 1 unidade de sapato e 1 unidade de couro para fabricar uma unidade de cinto. Sabendose que o total disponível de couro é de 6 unidades e que o lucro unitário por sapato é de 5 unidades monetárias e o do cinto é de 2 unidades monetárias, pede-se: o modelo do sistema de produçăo do sapateiro, se o objetivo é maximizar seu lucro por hora.
Passo 1
Vou listar de forma clara o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos esses dados do enunciado).
- Dados fornecidos:
- Produção se fizer somente sapatos:
sapatos por hora. - Produção se fizer somente cintos:
cintos por hora. - Consumo de couro por unidade: sapato consome
unidades de couro; cinto consome unidade de couro. - Couro disponível no total:
unidades. - Lucro unitário: sapato dá lucro de
unidades monetárias; cinto dá lucro de unidades monetárias.
- Produção se fizer somente sapatos:
- Pedido do enunciado:
- Construir o modelo matemático de programação linear do sistema de produção, com o objetivo de maximizar o lucro por hora.
Passo 2
Definir as variáveis de decisão (o passo mais importante para formular qualquer modelo).
- Seja
o número de sapatos produzidos por hora. - Seja
o número de cintos produzidos por hora.
Explicação didática: as variáveis representam quantidades que o sapateiro escolhe produzir naquele intervalo de tempo (uma hora). Sempre que definir variáveis, lembrar de indicar a unidade (aqui: unidades por hora) e que elas não podem ser negativas.
Passo 3
Transformar a informação sobre a capacidade de produção (taxas por hora) numa restrição de tempo.
- O enunciado diz que o sapateiro faz
sapatos por hora se dedicar a fazer só sapatos. Isso significa que o tempo necessário para fabricar um sapato é a razão inversa da taxa: - Analogamente, para cintos: a taxa é
cintos por hora, então - Se o sapateiro só dispõe de
hora de trabalho (por hora de avaliação), o tempo total gasto em produzir sapatos e cintos não pode exceder hora:
Dica prática: é comum multiplicar a desigualdade por um número que deixe coeficientes inteiros (para facilitar contas). O mínimo múltiplo comum de
e
é
. Multiplicando ambos os lados por
obtemos uma forma equivalente:
Ambas as desigualdades representam a mesma restrição de tempo; escolha a que preferir em prova.
Passo 4
Construir a restrição de material (couro).
- Cada sapato consome
unidades de couro e cada cinto consome unidade. - O couro total disponível é
unidades, logo o total consumido não pode superar :
Explicação didática: ao formar restrições, multiplica-se o consumo por unidade (coeficiente) pela quantidade produzida (variável) e soma-se os consumos de todos os produtos, comparando com o recurso disponível.
Passo 5
Impor não negatividade das variáveis.
- Como
e representam quantidades físicas, deve valer
Comentário amigável: em muitos problemas de produção é natural restringir também a integralidade (números inteiros), mas em programação linear padrão assume-se que as variáveis sejam reais não negativas, salvo indicação em contrário.
Passo 6
Construir a função objetivo (lucro total por hora) e explicar os coeficientes.
- Lucro unitário de sapato:
. Lucro unitário de cinto: . - O lucro total por hora, que queremos maximizar, é a soma dos lucros unitários vezes as quantidades:
Explicação didática: cada sapato produzido aumenta o lucro em
; cada cinto em
. A função objetivo é linear porque é soma de coeficientes fixos multiplicando as variáveis.
Passo 7
Apresentar o modelo completo, pronto para ser usado/resolvido (forma canônica informal).
- Variáveis:
= sapatos por hora, = cintos por hora. - Objetivo: maximizar lucro por hora.
- Restrições: tempo de trabalho, couro disponível, e não negatividade.
Forma do modelo em equações:
Observação prática para prova (rápida e útil): pode preferir a forma com coeficientes inteiros multiplicando a primeira restrição por
; então a restrição de tempo fica
. Esta forma às vezes facilita o desenho da região factível e o cálculo de pontos de interseção.