Sejam A=(1,1), B=(2,-2) e C=(-1,1). Calcule o comprimento do segmento que une o ponto A ao ponto médio do segmento \overline{B C}.

Passo 1

O enunciado nos dá três pontos no plano cartesiano:
  • A=(1,1),
  • B=(2,-2),
  • C=(-1,1).
O que é pedido: calcular o comprimento do segmento que une o ponto A ao ponto médio do segmento \overline{BC}.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • as coordenadas de A, B e C (usei exatamente esses valores que vieram no enunciado);
  • precisamos determinar primeiro o ponto médio de \overline{BC} e depois a distância entre A e esse ponto médio.

Passo 2

Fórmula do ponto médio (aulas rápidas): se dois pontos no plano são P=(x_1,y_1) e Q=(x_2,y_2), o ponto médio M de \overline{PQ} tem coordenadas obtidas pela média aritmética das coordenadas correspondentes:
M=\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\;\dfrac{y_1+y_2}{2}\right).
Explicação intuitiva: a coordenada x do meio fica exatamente entre os x-dos extremos, por isso se tira a média; o mesmo vale para a coordenada y.
Agora aplico a fórmula ao segmento \overline{BC}, usando B=(2,-2) e C=(-1,1):
x_M=\dfrac{2+(-1)}{2}=\dfrac{1}{2}, \qquad y_M=\dfrac{-2+1}{2}=\dfrac{-1}{2}.
Portanto o ponto médio é
M=\left(\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2}\right).
(Conferi: peguei as coordenadas de B e C diretamente do enunciado.)

Passo 3

Fórmula da distância entre dois pontos (o que usar na prova): para P=(x_1,y_1) e Q=(x_2,y_2), a distância d(P,Q) é dada por
d(P,Q)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
Derivação rápida e didática: ao traçar o segmento \overline{PQ} e projetá-lo sobre os eixos, forma-se um triângulo retângulo cujos catetos são x_2-x_1 e y_2-y_1; pelo Teorema de Pitágoras a hipotenusa (a distância) é a raiz quadrada da soma dos quadrados desses catetos. Nas contas, x_2-x_1 e y_2-y_1 podem ser negativos, mas ao elevar ao quadrado o sinal some: portanto só importa a diferença numérica.

Passo 4

Agora aplico a fórmula da distância para os pontos A=(1,1) e M=\left(\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2}\right).
Calculo as diferenças de coordenadas:
\Delta x = x_M - x_A = \dfrac{1}{2}-1 = -\dfrac{1}{2}, \qquad \Delta y = y_M - y_A = -\dfrac{1}{2}-1 = -\dfrac{3}{2}.
Elevo ao quadrado e somo:
(\Delta x)^2 = \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}, \qquad (\Delta y)^2 = \left(-\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{9}{4}.
(\Delta x)^2+(\Delta y)^2 = \dfrac{1}{4}+\dfrac{9}{4}=\dfrac{10}{4}=\dfrac{5}{2}.
Tiro a raiz quadrada para obter a distância:
d(A,M)=\sqrt{\dfrac{10}{4}}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}.
Como checagem rápida (opcional): \dfrac{\sqrt{10}}{2}\approx \dfrac{3,1623}{2}\approx 1,5811, um valor compatível com o triângulo formado pelas diferenças de coordenadas.

Passo 5

Recapitulando o procedimento que funciona sempre em prova: (i) calcule o ponto médio por média das coordenadas; (ii) aplique a fórmula da distância entre dois pontos; (iii) simplify com cuidado as frações e raízes. Fiz isso passo a passo acima — segue a resposta final.

Resposta

\dfrac{\sqrt{10}}{2}

Exercícios relacionados