Sejam A=(1,1), B=(2,-2) e C=(-1,1). Calcule o comprimento do segmento que une o ponto A ao ponto médio do segmento \overline{B C}.
Passo 1
O enunciado nos dá três pontos no plano cartesiano:
A=(1,1),
B=(2,-2),
C=(-1,1).
O que é pedido: calcular o comprimento do segmento que une o ponto A ao ponto médio do segmento \overline{BC}.
Informações relevantes que temos do enunciado:
as coordenadas de A, B e C (usei exatamente esses valores que vieram no enunciado);
precisamos determinar primeiro o ponto médio de \overline{BC} e depois a distância entre A e esse ponto médio.
Passo 2
Fórmula do ponto médio (aulas rápidas): se dois pontos no plano são P=(x_1,y_1) e Q=(x_2,y_2), o ponto médio M de \overline{PQ} tem coordenadas obtidas pela média aritmética das coordenadas correspondentes:
(Conferi: peguei as coordenadas de B e C diretamente do enunciado.)
Passo 3
Fórmula da distância entre dois pontos (o que usar na prova): para P=(x_1,y_1) e Q=(x_2,y_2), a distância d(P,Q) é dada por
d(P,Q)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
Derivação rápida e didática: ao traçar o segmento \overline{PQ} e projetá-lo sobre os eixos, forma-se um triângulo retângulo cujos catetos são x_2-x_1 e y_2-y_1; pelo Teorema de Pitágoras a hipotenusa (a distância) é a raiz quadrada da soma dos quadrados desses catetos. Nas contas, x_2-x_1 e y_2-y_1 podem ser negativos, mas ao elevar ao quadrado o sinal some: portanto só importa a diferença numérica.
Passo 4
Agora aplico a fórmula da distância para os pontos A=(1,1) e M=\left(\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2}\right).
Como checagem rápida (opcional): \dfrac{\sqrt{10}}{2}\approx \dfrac{3,1623}{2}\approx 1,5811, um valor compatível com o triângulo formado pelas diferenças de coordenadas.
Passo 5
Recapitulando o procedimento que funciona sempre em prova: (i) calcule o ponto médio por média das coordenadas; (ii) aplique a fórmula da distância entre dois pontos; (iii) simplify com cuidado as frações e raízes. Fiz isso passo a passo acima — segue a resposta final.