Construir um triângulo retângulo conhecendo a soma dos catetos e a altura relativa à hipotenusa.
Passo 1
O enunciado dá duas medidas conhecidas e pede construir um triângulo retângulo a partir delas. Vou listar claramente o que é dado e o que se pede (sem resolver ainda):
- Dado: a soma dos catetos
. Ou seja, se os catetos forem e , então . - Dado: a altura relativa à hipotenusa
. Ou seja, a distância do vértice do ângulo reto até a hipotenusa é . - Pedido: construir, com régua e compasso, um triângulo retângulo cujos catetos somam
e cuja altura à hipotenusa vale .
Anotações úteis (dados extraídos do enunciado): os comprimentos conhecidos são
e
. Nada mais foi dado numericamente.
Passo 2
Definindo variáveis e escrevendo as relações essenciais (aqui é teoria que precisamos entender para construir).
- Seja
e os catetos e a hipotenusa. - As relações da geometria do triângulo retângulo que usaremos são:
Explicando sucintamente onde vem (iii): na semelhança entre triângulos formados pela altura ao longo da hipotenusa obtem-se
. A relação
vem de semelhanças também (a altura é média geométrica entre as projeções).
Essas fórmulas serão usadas para passar dos dados
para a hipotenusa
e então para os catetos
.]
Passo 3
Encontrar a hipotenusa
em função de
e
(fórmula e construção lógica).
Partimos de
. Substituindo as igualdades conhecidas:
Isso é uma equação quadrática em
. Reorganizando:
Resolvendo a quadrática (escolhendo a raiz positiva):
Interpretação prática: com
e
é possível obter
construindo geometricamente
e subtraindo
.
Como construir geometricamente
:
- Desenhe um segmento horizontal
de comprimento . - Em
faça uma perpendicular e marque em um ponto tal que . - O segmento
tem comprimento (é a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos e ). - Transfira o comprimento
ao longo de uma reta colinear a e subtraia: isto fornece .
Esses passos são operações elementares com régua e compasso: construir perpendicular, transferir distâncias e encontrar a hipotenusa de um retângulo.
Passo 4
Achar as projeções
e
da altura sobre a hipotenusa (ou seja, dividir
em
e
com
).
Sabemos que
e
. Portanto
e
são as raízes da equação
O discriminante dessa equação é
. Logo
Geometricamente precisamos construir
. Uma maneira prática e construtível é usar a construção da média geométrica (produto) e soma/subtração:
- Construa os comprimentos
e (isso é soma e subtração de segmentos; certifique-se de que , caso contrário não existe triângulo com esses dados). - Observe que
. - A raiz
é a média geométrica entre e multiplicada por uma escala? Mais direto: para obter construa a média geométrica de e e depois relate a construção à raiz (a média geométrica de e é , portanto ). Para construir a média geométrica entre dois segmentos e use o procedimento padrão abaixo (Passo 5).
Portanto, uma vez construído
, obtém-se
e
pela soma/subtração e divisão por
(fazer o ponto médio do segmento).
Passo 5
Construção geométrica da média geométrica
(ferramenta que usaremos várias vezes). Este é um truque clássico que precisa ficar claro:
Dado dois segmentos de comprimentos
e
, para construir
:
- Sobre uma reta, marque um segmento
tal que (coloque – com e – com ). - Faça a semicircunferência de diâmetro
. - Em
(divisão e ) trace a perpendicular à reta que corte a semicircunferência em . - O segmento
tem comprimento .
Por que funciona (intuição rápida): é a configuração padrão de semelhanças que dá
.
Usaremos essa construção para obter:
-
(já mostrei um modo direto pelo triângulo retângulo, mas a média geométrica também é útil para produtos), -
tomando e , -
e (para obter os catetos, ver passo seguinte) tomando e etc.
Passo 6
Calcular (construir) os valores
e
explicitamente com régua e compasso:
Resumo do procedimento prático:
- Construir
como no Passo 3: . - Construir os segmentos
e (somar e subtrair é só transpor segmentos e marcar). - Usar a construção da média geométrica (Passo 5) para obter
. - Construir
e traçando a soma/diferença e depois o ponto médio (divisão por é construção do ponto médio com compasso/régua).
Agora temos
e
como comprimentos sobre a hipotenusa que satisfazem
e
.
Passo 7
Encontrar os catetos
e
a partir de
.
Usamos as relações
e
. Logo
Cada uma dessas raízes quadradas é uma média geométrica entre
e
(ou entre
e
), portanto basta aplicar novamente o procedimento do Passo 5:
- Junte
e em um segmento total , faça a semicircunferência etc.: a perpendicular ao ponto de junção dá . - Faça o mesmo com
e para obter .
Assim obtemos, geometricamente, os comprimentos dos catetos.
Passo 8
Montagem final do triângulo a partir dos comprimentos
.
Agora construímos o triângulo retângulo explicitamente:
- Desenhe um segmento
de comprimento . Esse será a hipotenusa. - Sobre
marque um ponto tal que e (coloque e em na ordem correta). - Pelo ponto
faça a perpendicular a . Marque sobre essa perpendicular o ponto tal que (dois pontos dessa perpendicular satisfarão, escolha o que preferir para a orientação do triângulo). - Una
a e a . O triângulo é retângulo em (porque é perpendicular a ) e tem hipotenusa e altura relativa à hipotenusa . - Os catetos terão comprimentos
e obtidos antes; isso decorre das propriedades da altura no triângulo retângulo (semelhanças mostram e ), por isso a construção dá exatamente os catetos desejados cujo soma é .
Verificação rápida: o ponto
é o pé da altura, por construção
; as semelhanças garantem as relações entre projeções e catetos, então as condições do enunciado ficam satisfeitas.
Passo 9
Observações sobre existência e checagem (coisas importantes para a prova):
- É necessário que
para que seja real e positivo; geometricamente isso garante que a divisão de em e é possível com . Em termos dos dados e isso equivale a uma condição que pode ser testada: calcular e verificar . Se essa desigualdade não valer, não existe triângulo retângulo com esses dados. - Todas as operações descritas (soma, subtração, média geométrica, ponto médio) são construções clássicas de régua e compasso, logo a construção é efetivamente realizável com instrumentos clássicos.
- Se preferir um procedimento prático mínimo: construa
pelo Passo 3, obtenha pelo Passo 6 e então monte o triângulo pelo Passo 8.
Passo 10
Resumo passo a passo prático e direto (manual de execução com régua e compasso):
- Desenhe segmento de comprimento
e, em uma das extremidades, levante perpendicular e marque altura . A hipotenusa desse retângulo tem comprimento . - A partir desse comprimento subtraia
para obter . - Marque os comprimentos
e e use a construção da média geométrica para obter . - Calcule
e (colocando esses comprimentos sobre depois). - Faça média geométrica entre
e para obter ; entre e para obter . - Desenhe a hipotenusa
de comprimento , marque com e . Pelo ponto trace a perpendicular e marque a distância de . Una a e . Pronto: , , e .