Construir um triângulo retângulo conhecendo a soma dos catetos e a altura relativa à hipotenusa.

Passo 1

O enunciado dá duas medidas conhecidas e pede construir um triângulo retângulo a partir delas. Vou listar claramente o que é dado e o que se pede (sem resolver ainda):
  • Dado: a soma dos catetos S. Ou seja, se os catetos forem a e b, então \,a+b=S.
  • Dado: a altura relativa à hipotenusa h. Ou seja, a distância do vértice do ângulo reto até a hipotenusa é h.
  • Pedido: construir, com régua e compasso, um triângulo retângulo cujos catetos somam S e cuja altura à hipotenusa vale h.
Anotações úteis (dados extraídos do enunciado): os comprimentos conhecidos são S e h. Nada mais foi dado numericamente.

Passo 2

Definindo variáveis e escrevendo as relações essenciais (aqui é teoria que precisamos entender para construir).
  • Seja a e b os catetos e c a hipotenusa.
  • As relações da geometria do triângulo retângulo que usaremos são:
\begin{aligned} &\text{(i)}\quad a+b=S,\\[4pt] &\text{(ii)}\quad a^2+b^2=c^2\quad\text{(Teorema de Pitágoras)},\\[4pt] &\text{(iii)}\quad ab=c\,h\quad\text{(produto dos catetos = hipotenusa vezes a altura)},\\[4pt] &\text{(iv)}\quad \text{se \(p\) e \(q\) são as projeções dos catetos na hipotenusa, então }p+q=c,\;pq=h^2,\\ &\qquad\text{e }a^2=cp,\;b^2=cq. \end{aligned}áãçõã
Explicando sucintamente onde vem (iii): na semelhança entre triângulos formados pela altura ao longo da hipotenusa obtem-se ab=c\,h. A relação pq=h^2 vem de semelhanças também (a altura é média geométrica entre as projeções).
Essas fórmulas serão usadas para passar dos dados S,h para a hipotenusa c e então para os catetos a,b.]

Passo 3

Encontrar a hipotenusa c em função de S e h (fórmula e construção lógica).
Partimos de (a+b)^2=a^2+b^2+2ab. Substituindo as igualdades conhecidas:
S^2 = c^2 + 2(c\,h).
Isso é uma equação quadrática em c. Reorganizando:
c^2 + 2h\,c - S^2 = 0.
Resolvendo a quadrática (escolhendo a raiz positiva):
\displaystyle c = -h + \sqrt{h^2 + S^2}.
Interpretação prática: com S e h é possível obter c construindo geometricamente \sqrt{h^2+S^2} e subtraindo h.
Como construir geometricamente \sqrt{h^2+S^2}:
  • Desenhe um segmento horizontal XY de comprimento S.
  • Em X faça uma perpendicular e marque em X um ponto Z tal que XZ=h.
  • O segmento YZ tem comprimento \sqrt{S^2+h^2} (é a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos S e h).
  • Transfira o comprimento XZ=h ao longo de uma reta colinear a YZ e subtraia: isto fornece c=\sqrt{h^2+S^2}-h.
Esses passos são operações elementares com régua e compasso: construir perpendicular, transferir distâncias e encontrar a hipotenusa de um retângulo.

Passo 4

Achar as projeções p e q da altura sobre a hipotenusa (ou seja, dividir c em p e q com pq=h^2).
Sabemos que p+q=c e pq=h^2. Portanto p e q são as raízes da equação
t^2 - c t + h^2 = 0.
O discriminante dessa equação é \Delta = c^2 - 4h^2. Logo
p,q = \frac{c \pm \sqrt{c^2 - 4h^2}}{2}.
Geometricamente precisamos construir \sqrt{c^2 - 4h^2}. Uma maneira prática e construtível é usar a construção da média geométrica (produto) e soma/subtração:
  • Construa os comprimentos c+2h e c-2h (isso é soma e subtração de segmentos; certifique-se de que c>2h, caso contrário não existe triângulo com esses dados).
  • Observe que (c+2h)(c-2h)=c^2-4h^2.
  • A raiz \sqrt{c^2-4h^2} é a média geométrica entre c+2h e c-2h multiplicada por uma escala? Mais direto: para obter \sqrt{c^2-4h^2} construa a média geométrica de (c+2h) e (c-2h) e depois relate a construção à raiz (a média geométrica de x e y é \sqrt{xy}, portanto \sqrt{(c+2h)(c-2h)}=\sqrt{c^2-4h^2}). Para construir a média geométrica \sqrt{XY} entre dois segmentos X e Y use o procedimento padrão abaixo (Passo 5).
Portanto, uma vez construído \sqrt{c^2-4h^2}, obtém-se p e q pela soma/subtração e divisão por 2 (fazer o ponto médio do segmento).

Passo 5

Construção geométrica da média geométrica \sqrt{XY} (ferramenta que usaremos várias vezes). Este é um truque clássico que precisa ficar claro:
Dado dois segmentos de comprimentos X e Y, para construir \sqrt{XY}:
  • Sobre uma reta, marque um segmento AB tal que AB = X+Y (coloque A C com AC=X e C B com CB=Y).
  • Faça a semicircunferência de diâmetro AB.
  • Em C (divisão X e Y) trace a perpendicular à reta AB que corte a semicircunferência em D.
  • O segmento CD tem comprimento \sqrt{XY}.
Por que funciona (intuição rápida): é a configuração padrão de semelhanças que dá CD^2 = AC \cdot CB = X\cdot Y.
Usaremos essa construção para obter:
  • \sqrt{h^2+S^2} (já mostrei um modo direto pelo triângulo retângulo, mas a média geométrica também é útil para produtos),
  • \sqrt{c^2-4h^2} tomando X=c+2h e Y=c-2h,
  • \sqrt{c\,p} e \sqrt{c\,q} (para obter os catetos, ver passo seguinte) tomando X=c e Y=p etc.

Passo 6

Calcular (construir) os valores p e q explicitamente com régua e compasso:
Resumo do procedimento prático:
  1. Construir c como no Passo 3: c=\sqrt{h^2+S^2}-h.
  2. Construir os segmentos c+2h e c-2h (somar e subtrair é só transpor segmentos e marcar).
  3. Usar a construção da média geométrica (Passo 5) para obter \sqrt{(c+2h)(c-2h)}=\sqrt{c^2-4h^2}.
  4. Construir \displaystyle p=\frac{c+\sqrt{c^2-4h^2}}{2} e \displaystyle q=\frac{c-\sqrt{c^2-4h^2}}{2} traçando a soma/diferença e depois o ponto médio (divisão por 2 é construção do ponto médio com compasso/régua).
Agora temos p e q como comprimentos sobre a hipotenusa que satisfazem p+q=c e pq=h^2.

Passo 7

Encontrar os catetos a e b a partir de c,p,q.
Usamos as relações a^2 = c p e b^2 = c q. Logo
a = \sqrt{c p},\qquad b = \sqrt{c q}.
Cada uma dessas raízes quadradas é uma média geométrica entre c e p (ou entre c e q), portanto basta aplicar novamente o procedimento do Passo 5:
  • Junte c e p em um segmento total c+p, faça a semicircunferência etc.: a perpendicular ao ponto de junção dá \sqrt{c p}=a.
  • Faça o mesmo com c e q para obter b.
Assim obtemos, geometricamente, os comprimentos dos catetos.

Passo 8

Montagem final do triângulo a partir dos comprimentos c,p,q,a,b,h.
Agora construímos o triângulo retângulo explicitamente:
  1. Desenhe um segmento AB de comprimento c. Esse será a hipotenusa.
  2. Sobre AB marque um ponto H tal que AH=p e HB=q (coloque p e q em AB na ordem correta).
  3. Pelo ponto H faça a perpendicular a AB. Marque sobre essa perpendicular o ponto C tal que CH=h (dois pontos dessa perpendicular satisfarão, escolha o que preferir para a orientação do triângulo).
  4. Una C a A e C a B. O triângulo ABC é retângulo em C (porque CH é perpendicular a AB) e tem hipotenusa AB=c e altura relativa à hipotenusa CH=h.
  5. Os catetos terão comprimentos AC=a e BC=b obtidos antes; isso decorre das propriedades da altura no triângulo retângulo (semelhanças mostram a^2=cp e b^2=cq), por isso a construção dá exatamente os catetos desejados cujo soma é S.
Verificação rápida: o ponto H é o pé da altura, por construção CH=h; as semelhanças garantem as relações entre projeções e catetos, então as condições do enunciado ficam satisfeitas.

Passo 9

Observações sobre existência e checagem (coisas importantes para a prova):
  • É necessário que c>2h para que \sqrt{c^2-4h^2} seja real e positivo; geometricamente isso garante que a divisão de c em p e q é possível com p,q>0. Em termos dos dados S e h isso equivale a uma condição que pode ser testada: calcular c=-h+\sqrt{h^2+S^2} e verificar c>2h. Se essa desigualdade não valer, não existe triângulo retângulo com esses dados.
  • Todas as operações descritas (soma, subtração, média geométrica, ponto médio) são construções clássicas de régua e compasso, logo a construção é efetivamente realizável com instrumentos clássicos.
  • Se preferir um procedimento prático mínimo: construa c pelo Passo 3, obtenha p,q pelo Passo 6 e então monte o triângulo pelo Passo 8.

Passo 10

Resumo passo a passo prático e direto (manual de execução com régua e compasso):
  1. Desenhe segmento de comprimento S e, em uma das extremidades, levante perpendicular e marque altura h. A hipotenusa desse retângulo tem comprimento \sqrt{S^2+h^2}.
  2. A partir desse comprimento subtraia h para obter c=\sqrt{S^2+h^2}-h.
  3. Marque os comprimentos c+2h e c-2h e use a construção da média geométrica para obter \sqrt{(c+2h)(c-2h)}=\sqrt{c^2-4h^2}.
  4. Calcule p=\dfrac{c+\sqrt{c^2-4h^2}}{2} e q=\dfrac{c-\sqrt{c^2-4h^2}}{2} (colocando esses comprimentos sobre AB depois).
  5. Faça média geométrica entre c e p para obter a=\sqrt{c p}; entre c e q para obter b=\sqrt{c q}.
  6. Desenhe a hipotenusa AB de comprimento c, marque H com AH=p e HB=q. Pelo ponto H trace a perpendicular e marque C a distância h de H. Una C a A e B. Pronto: AC=a, BC=b, AC+BC=S e CH=h.

Resposta

c=-h+\sqrt{h^{2}+S^{2}}
a,b=\dfrac{S\pm\sqrt{S^{2}-4c\,h}}{2}

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