Construir
tal que
.
Passo 1
O enunciado pede para construir
tal que
Informações dadas e condições implícitas:
- As quantidades
e aparecem, portanto é preciso que e . - O objetivo é expressar
em função de e . - Não se deve assumir nada mais além do que está escrito; se alguma operação levar a divisão por zero, isso deve ser indicado.
Passo 2
Vou somar as duas frações do lado direito transformando-as para um denominador comum. Para isso, escrevo cada fração com denominador
:
Passo 3
Somando as frações com o mesmo denominador obtemos:
Passo 4
Agora a equação original fica
Para passar de
para
usamos a propriedade de inversão: se
e
, então
. Aplicando aqui (e lembrando que
e
são não nulos),
desde que o denominador
não seja zero.
Passo 5
Explicando cuidadosamente as condições de existência:
- Foi necessário
e para que e existam e para formar como denominador. - Além disso, precisa-se de
para que esteja bem definido. Se então e a equação não tem solução finita em .
Passo 6
Verificação rápida por substituição: tomando
,
logo a construção está correta (quando as condições acima são satisfeitas).
Passo 7
Comentário prático (dica para a prova): ao ver soma de inversos, sempre iguale as frações por denominador comum e, se necessário, inverta a igualdade (com cuidado para não dividir por zero). Um lembrete útil:
é metade da média harmônica de
e
, já que a média harmônica é
.