Construir x tal que \frac{1}{x}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}.

Passo 1

O enunciado pede para construir x tal que
\frac{1}{x}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}.
Informações dadas e condições implícitas:
  • As quantidades \frac{1}{a} e \frac{1}{b} aparecem, portanto é preciso que a\neq 0 e b\neq 0.
  • O objetivo é expressar x em função de a e b.
  • Não se deve assumir nada mais além do que está escrito; se alguma operação levar a divisão por zero, isso deve ser indicado.

Passo 2

Vou somar as duas frações do lado direito transformando-as para um denominador comum. Para isso, escrevo cada fração com denominador ab:
\frac{1}{a}=\frac{b}{ab},\qquad \frac{1}{b}=\frac{a}{ab}.

Passo 3

Somando as frações com o mesmo denominador obtemos:
\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{b}{ab}+\frac{a}{ab}=\frac{a+b}{ab}.

Passo 4

Agora a equação original fica
\frac{1}{x}=\frac{a+b}{ab}.
Para passar de \dfrac{1}{x}=Y para x usamos a propriedade de inversão: se \dfrac{1}{x}=Y e Y\neq 0, então x=\dfrac{1}{Y}. Aplicando aqui (e lembrando que a e b são não nulos),
x=\frac{1}{\dfrac{a+b}{ab}}=\frac{ab}{a+b},
desde que o denominador a+b não seja zero.

Passo 5

Explicando cuidadosamente as condições de existência:
  • Foi necessário a\neq 0 e b\neq 0 para que \dfrac{1}{a} e \dfrac{1}{b} existam e para formar ab como denominador.
  • Além disso, precisa-se de a+b\neq 0 para que \dfrac{ab}{a+b} esteja bem definido. Se a+b=0 então \dfrac{a+b}{ab}=0 e a equação \dfrac{1}{x}=0 não tem solução finita em x.

Passo 6

Verificação rápida por substituição: tomando x=\dfrac{ab}{a+b},
\frac{1}{x}=\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b},
logo a construção está correta (quando as condições acima são satisfeitas).

Passo 7

Comentário prático (dica para a prova): ao ver soma de inversos, sempre iguale as frações por denominador comum e, se necessário, inverta a igualdade (com cuidado para não dividir por zero). Um lembrete útil: \dfrac{ab}{a+b} é metade da média harmônica de a e b, já que a média harmônica é \dfrac{2ab}{a+b}.

Resposta

x=\frac{ab}{a+b},\qquad a\neq 0,\\ b\neq 0,\\ a+b\neq 0

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