Construir
tal que
.
Passo 1
O enunciado pede para "construir
" tal que
Informações dadas e condições implícitas:
- São dadas as quantidades
e . - É necessário expressar
em função de e . - Deve-se observar que as expressões
e só fazem sentido se e . Portanto assumimos e . - Precisaremos resolver para
, ou seja, isolar a partir da igualdade dada.
Passo 2
Primeiro passo algébrico: somar as frações do lado direito. Para somar
e
use o denominador comum
. A soma fica
Explicando devagar: multiplicou-se a primeira fração por
e a segunda por
para obter o mesmo denominador, depois somou-se os numeradores.
Passo 3
Substituindo essa soma na equação original obtemos
Agora queremos isolar
. Para isso, invertendo ambos os lados da igualdade (operacão válida quando os dois lados são diferentes de zero), temos
Observação: a inversão é legítima porque
e
implicam que o lado direito original
é estritamente positivo (já que
sempre que
e
não são ambos zero). Assim não estamos dividindo por zero.
Passo 4
Agora que temos
, passamos a obter
tomando a raiz quadrada de ambos os lados. Lembre-se de que, ao resolver
com
, as soluções são
. Aplicando isso:
Passo 5
Simplificação da raiz: a raiz de um produto/soma pode ser separada; em particular
. Então
Comentário sobre o valor absoluto: se quisermos escrever sem o valor absoluto, podemos observar o sinal de
. Muitas vezes, especialmente em problemas geométricos ou físicos, procura-se a solução positiva; nesse caso, se houver razão para escolher
(por exemplo
e
positivos), podemos tomar a raiz positiva:
Passo 6
Condições e casos especiais:
- Se
ou a equação inicial não é válida (divisão por zero). Portanto insistimos em e . - Se
e são números reais não nulos, então e a expressão acima é bem definida. - Se o enunciado exigir apenas o valor positivo de
, escolha o sinal . Se admitir soluções negativas, ambas são válidas.
Passo 7
Exemplo numérico para fixar a ideia: tome
e
.
Calcule
Calcule
Verificação rápida:
Confere.
Passo 8
Dica para prova: ao ver uma equação do tipo
, a técnica padrão é:
- Colocar as frações do lado direito sobre um denominador comum.
- Inverter a igualdade para obter
. - Tirar raiz e lembrar do sinal
e das restrições (não dividir por zero).
Fazendo esses três passos com calma em prova evita erros de sinais e de domínio.