Construir x tal que \frac{1}{x^{2}}=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para "construir x" tal que
\frac{1}{x^{2}}=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}.
Informações dadas e condições implícitas:
  • São dadas as quantidades a e b.
  • É necessário expressar x em função de a e b.
  • Deve-se observar que as expressões \frac{1}{a^{2}} e \frac{1}{b^{2}} só fazem sentido se a\neq0 e b\neq0. Portanto assumimos a\neq0 e b\neq0.
  • Precisaremos resolver para x, ou seja, isolar x a partir da igualdade dada.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: somar as frações do lado direito. Para somar \dfrac{1}{a^{2}} e \dfrac{1}{b^{2}} use o denominador comum a^{2}b^{2}. A soma fica
\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}=\frac{b^{2}}{a^{2}b^{2}}+\frac{a^{2}}{a^{2}b^{2}}=\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}b^{2}}.
Explicando devagar: multiplicou-se a primeira fração por \dfrac{b^{2}}{b^{2}} e a segunda por \dfrac{a^{2}}{a^{2}} para obter o mesmo denominador, depois somou-se os numeradores.

Passo 3

Substituindo essa soma na equação original obtemos
\frac{1}{x^{2}}=\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}b^{2}}.
Agora queremos isolar x^{2}. Para isso, invertendo ambos os lados da igualdade (operacão válida quando os dois lados são diferentes de zero), temos
x^{2}=\frac{a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}.
Observação: a inversão é legítima porque a\neq0 e b\neq0 implicam que o lado direito original \dfrac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}b^{2}} é estritamente positivo (já que a^{2}+b^{2}>0 sempre que a e b não são ambos zero). Assim não estamos dividindo por zero.

Passo 4

Agora que temos x^{2}, passamos a obter x tomando a raiz quadrada de ambos os lados. Lembre-se de que, ao resolver x^{2}=C com C>0, as soluções são x=\pm\sqrt{C}. Aplicando isso:
x=\pm\sqrt{\frac{a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}.

Passo 5

Simplificação da raiz: a raiz de um produto/soma pode ser separada; em particular \sqrt{a^{2}b^{2}}=|ab|. Então
x=\pm\frac{|ab|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.
Comentário sobre o valor absoluto: se quisermos escrever sem o valor absoluto, podemos observar o sinal de ab. Muitas vezes, especialmente em problemas geométricos ou físicos, procura-se a solução positiva; nesse caso, se houver razão para escolher x>0 (por exemplo a e b positivos), podemos tomar a raiz positiva:
x=\frac{ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\quad\text{(se \(ab>0\) e quiser a solução positiva).}çã

Passo 6

Condições e casos especiais:
  • Se a=0 ou b=0 a equação inicial não é válida (divisão por zero). Portanto insistimos em a\neq0 e b\neq0.
  • Se a e b são números reais não nulos, então a^{2}+b^{2}>0 e a expressão acima é bem definida.
  • Se o enunciado exigir apenas o valor positivo de x, escolha o sinal +. Se admitir soluções negativas, ambas são válidas.

Passo 7

Exemplo numérico para fixar a ideia: tome a=3 e b=4.
Calcule
x=\frac{ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{3\cdot4}{\sqrt{9+16}}=\frac{12}{\sqrt{25}}=\frac{12}{5}=2{,}4.
Verificação rápida:
\frac{1}{x^{2}}=\frac{1}{(2{,}4)^{2}}=\frac{1}{5{,}76}\approx0{,}173611\ldots
\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}=\frac{1}{9}+\frac{1}{16}=0{,}111111\ldots+0{,}0625=0{,}173611\ldots
Confere.

Passo 8

Dica para prova: ao ver uma equação do tipo \dfrac{1}{x^{2}}=\dfrac{1}{a^{2}}+\dfrac{1}{b^{2}}, a técnica padrão é:
  1. Colocar as frações do lado direito sobre um denominador comum.
  2. Inverter a igualdade para obter x^{2}.
  3. Tirar raiz e lembrar do sinal \pm e das restrições (não dividir por zero).
    Fazendo esses três passos com calma em prova evita erros de sinais e de domínio.

Resposta

x=\dfrac{ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}
x=-\dfrac{ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}

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