Uma construtora fez um contrato para construção de uma rodovia que vai requerer 10.000 m^{3} de brita a cada ano, durante 5 anos, a um custo de \ 5,80 / m^{3} . Como alternativa o construtor avalia a possibilidade de adquirir a pedreira, estimando que o custo por metro cúbico sairia aú$4,30 e poderia vender a pedreira ao final do quinto ano por$ 200.000 . A uma taxa de juros de8 %$ a.a., quanto a construtora poderia pagar pela pedreira?

Passo 1

Vamos deixar claro o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados do enunciado:
    • Demanda anual de brita: 10.000\\ \text{m}^3 por ano, durante 5 anos.
    • Custo comprado de fora: \$5,80/\text{m}^3.
    • Custo se produzir internamente (comprando a pedreira): \$4,30/\text{m}^3.
    • Valor de revenda da pedreira ao final do 5.º ano: \$200.000.
    • Taxa de juros: i=0,08 a.a.
  • O que o enunciado pergunta:
    • Qual o valor máximo que a construtora poderia pagar hoje pela pedreira (ou seja, qual o preço de compra agora que a deixaria indiferente entre comprar a pedreira ou continuar comprando a brita externamente)?

Passo 2

Estratégia (explicada de forma simples): comparar os valores presentes (hoje) das duas alternativas ao mesmo nível (taxa 8\%). A alternativa sem compra tem apenas os pagamentos anuais de compra externa. A alternativa com compra tem: (i) pagamento inicial pela pedreira (o valor que queremos), (ii) pagamentos anuais menores de produção interna e (iii) recebimento da venda da pedreira ao final do 5.º ano. O preço máximo que a construtora pode pagar é o valor que faz os valores presentes das duas alternativas iguais (indiferença).

Passo 3

Definições e fórmulas necessárias (com explicação do que é cada símbolo):
  • Fator de valor presente de uma anuidade (pagamentos iguais por n anos):
    \left(P/A,i,n\right)=\frac{1-(1+i)^{-n}}{i},
    onde:
    • i é a taxa de juros por período (aqui i=0,08);
    • n é o número de períodos (aqui n=5);
    • (P/A,i,n) dá quanto vale hoje uma sequência de 1 unidade recebida/ paga no final de cada um dos n anos.
  • Fator de desconto (valor presente de uma unidade recebida no final do ano n):
    (P/F,i,n)=(1+i)^{-n}.
    Aqui serve para trazer o preço de revenda de volta ao valor presente.

Passo 4

Calcular os fluxos anuais e a diferença de custo anual:
  • Custo anual comprando de fora: 10.000\cdot\$5,80=\$\;58.000 por ano.
  • Custo anual produzindo internamente: 10.000\cdot\$4,30=\$\;43.000 por ano.
  • Economia anual (benefício) por produzir internamente: \$58.000-\$43.000=\$\;15.000 por ano, durante 5 anos.

Passo 5

Calcular os fatores numéricos:
  • Primeiro calcular (1+i)^5=(1,08)^5. Vamos fazer passo a passo: (1,08)^2=1,1664,
(1,08)^3=1,1664\cdot1,08=1,259712,
(1,08)^4=1,259712\cdot1,08=1,36048896,
(1,08)^5=1,36048896\cdot1,08=1,4693280768.
  • Então o fator de desconto é (P/F,0,08,5)=(1,08)^{-5}=\frac{1}{1,4693280768}\approx0,680583197.
  • O fator de anuidade é (P/A,0,08,5)=\frac{1-(1,08)^{-5}}{0,08}=\frac{1-0,680583197}{0,08}=\frac{0,319416803}{0,08}\approx3,992710038.

Passo 6

Calcular o valor presente da economia anual:
  • Economia anual \$15.000 com fator (P/A): \text{PV}_{\text{economia}}=\$15.000\cdot (P/A,0,08,5)=15.000\cdot3,992710038\approx\$59.890,65.

Passo 7

Calcular o valor presente da venda da pedreira no ano 5:
  • Venda de \$200.000 no final do ano 5: \text{PV}_{\text{venda}}=\$200.000\cdot (1,08)^{-5}=200.000\cdot0,680583197\approx\$136.116,64.

Passo 8

Montar a equação de indiferença e resolver para o preço máximo X:
  • Intuição: o que a construtora ganha ao comprar a pedreira é a soma do valor presente da economia anual mais o valor presente da venda; portanto o máximo que pode pagar hoje é essa soma: X=\text{PV}_{\text{economia}}+\text{PV}_{\text{venda}}.
  • Substituindo os valores calculados: X\approx\$59.890,65+\$136.116,64=\$196.007,29.

Passo 9

Comentário final rápido (motivacional): pronto — esse é o número que deixa a decisão “na média”: pagar até esse valor pela pedreira é indiferente (do ponto de vista financeiro, a 8\% a.a.) a continuar comprando a brita por fora. Respira, você já conseguiu — faltam só alguns exercícios assim!

Resposta

\$196.007,29

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