Uma construtora fez um contrato para construção de uma rodovia que vai requerer
de brita a cada ano, durante 5 anos, a um custo de
5,80 / m^{3}
$4,30
$ 200.000
8 %$ a.a., quanto a construtora poderia pagar pela pedreira?
Passo 1
Vamos deixar claro o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Dados do enunciado:
- Demanda anual de brita:
por ano, durante anos. - Custo comprado de fora:
. - Custo se produzir internamente (comprando a pedreira):
. - Valor de revenda da pedreira ao final do 5.º ano:
. - Taxa de juros:
a.a.
- Demanda anual de brita:
- O que o enunciado pergunta:
- Qual o valor máximo que a construtora poderia pagar hoje pela pedreira (ou seja, qual o preço de compra agora que a deixaria indiferente entre comprar a pedreira ou continuar comprando a brita externamente)?
Passo 2
Estratégia (explicada de forma simples): comparar os valores presentes (hoje) das duas alternativas ao mesmo nível (taxa
). A alternativa sem compra tem apenas os pagamentos anuais de compra externa. A alternativa com compra tem: (i) pagamento inicial pela pedreira (o valor que queremos), (ii) pagamentos anuais menores de produção interna e (iii) recebimento da venda da pedreira ao final do 5.º ano. O preço máximo que a construtora pode pagar é o valor que faz os valores presentes das duas alternativas iguais (indiferença).
Passo 3
Definições e fórmulas necessárias (com explicação do que é cada símbolo):
-
Fator de valor presente de uma anuidade (pagamentos iguais por
anos): onde:-
é a taxa de juros por período (aqui ); -
é o número de períodos (aqui ); -
dá quanto vale hoje uma sequência de 1 unidade recebida/ paga no final de cada um dos anos.
-
-
Fator de desconto (valor presente de uma unidade recebida no final do ano
): Aqui serve para trazer o preço de revenda de volta ao valor presente.
Passo 4
Calcular os fluxos anuais e a diferença de custo anual:
- Custo anual comprando de fora:
por ano. - Custo anual produzindo internamente:
por ano. - Economia anual (benefício) por produzir internamente:
por ano, durante 5 anos.
Passo 5
Calcular os fatores numéricos:
- Primeiro calcular
. Vamos fazer passo a passo:
- Então o fator de desconto é
- O fator de anuidade é
Passo 6
Calcular o valor presente da economia anual:
- Economia anual
com fator :
Passo 7
Calcular o valor presente da venda da pedreira no ano 5:
- Venda de
no final do ano 5:
Passo 8
Montar a equação de indiferença e resolver para o preço máximo
:
- Intuição: o que a construtora ganha ao comprar a pedreira é a soma do valor presente da economia anual mais o valor presente da venda; portanto o máximo que pode pagar hoje é essa soma:
- Substituindo os valores calculados:
Passo 9
Comentário final rápido (motivacional): pronto — esse é o número que deixa a decisão “na média”: pagar até esse valor pela pedreira é indiferente (do ponto de vista financeiro, a
a.a.) a continuar comprando a brita por fora. Respira, você já conseguiu — faltam só alguns exercícios assim!