Dois processos de tratamento de água estão em estudo. Os custos deles estão resumidos a seguir:
Tipo A Tipo B
Investimento Inicial 100.000 140.000
Custo anual de manutenção 20.000 15.000
Renovação dos equipamentos 50.000 40.000
Duração dos equipamentos 10 anos 11 anos
Faça uma análise econômica dos processos com base no Valor Presente Líquido considerando um horizonte de planejamento infinito e T M A=7 \%.

Passo 1

O enunciado pede que eu faça uma análise econômica, usando Valor Presente Líquido (VPL), para dois processos (Tipo A e Tipo B) considerando um horizonte de planejamento infinito e taxa mínima de atratividade r=7\%. Os dados fornecidos são:
  • Tipo A:
    • Investimento inicial: I_A = \text{R\$ }100.000
    • Custo anual de manutenção: M_A = \text{R\$ }20.000 (pagos no fim de cada ano)
    • Renovação dos equipamentos (custo ao fim da vida útil): R_A = \text{R\$ }50.000
    • Duração dos equipamentos: n_A = 10 anos
  • Tipo B:
    • Investimento inicial: I_B = \text{R\$ }140.000
    • Custo anual de manutenção: M_B = \text{R\$ }15.000 (pagos no fim de cada ano)
    • Renovação dos equipamentos (custo ao fim da vida útil): R_B = \text{R\$ }40.000
    • Duração dos equipamentos: n_B = 11 anos
O objetivo que vou responder é: calcular o VPL (valor presente) dos dois processos considerando repetição indefinida dos ciclos (horizonte infinito) e comparar para decidir qual é economicamente melhor.

Passo 2

Vou modelar os custos como ciclos repetidos de duração n anos: no início do ciclo (tempo 0 do ciclo) paga-se o investimento I; nos anos 1,2,\dots,n paga-se manutenção anual M ao final de cada ano; ao final do ano n paga-se a renovação R (que dá início ao próximo ciclo idêntico). A taxa de desconto é r e v=\dfrac{1}{1+r} é o fator de desconto por 1 ano.
Para um ciclo único (começando em t=0) o valor presente desse ciclo é
\text{PV}_{\text{ciclo}} \;=\; I \;+\; \sum_{t=1}^{n} M\,v^{t} \;+\; R\,v^{n}.
Como os ciclos se repetem indefinidamente (em t=0,\;t=n,\;t=2n,\dots), o VPL total é a soma geométrica desses blocos:
\text{VPL} \;=\; \sum_{k=0}^{\infty} \left[ \text{PV}_{\text{ciclo}} \cdot v^{k n} \right] \;=\; \frac{\text{PV}_{\text{ciclo}}}{1 - v^{n}},
pois \sum_{k=0}^{\infty} v^{k n} = \dfrac{1}{1 - v^{n}} (como v^n<1).

Passo 3

Vou simplificar a expressão usando a fórmula do valor presente de uma anuidade. A soma \sum_{t=1}^{n} M\,v^{t} é o valor presente de uma anuidade imediata de n pagamentos M e vale
\sum_{t=1}^{n} M\,v^{t} \;=\; M\cdot \frac{1 - v^{n}}{r}.
Substituindo em \text{PV}_{\text{ciclo}} e depois em \text{VPL} obtemos uma forma prática:
\text{VPL} \;=\; \frac{I + M\cdot\dfrac{1 - v^{n}}{r} + R\,v^{n}}{1 - v^{n}}.
Multiplicando e reorganizando fica uma forma muito conveniente:
\boxed{\text{VPL} \;=\; \frac{M}{r} \;+\; \frac{I + R\,v^{n}}{1 - v^{n}}.}
Nesta fórmula:
  • r é a taxa de desconto ( 0,07);
  • v=\dfrac{1}{1+r};
  • n é a vida útil em anos;
  • I,M,R os valores definidos por tipo.
Uma interpretação útil: \dfrac{M}{r} é o valor presente de uma manutenção anual M perpetuamente (se fosse sem substituição), e o segundo termo ajusta o efeito do investimento inicial e da renovação que ocorrem em ciclos finitos.

Passo 4

Agora calculo os fatores numéricos que vou usar. Primeiro defino r=0,07 e
v=\frac{1}{1+r}=\frac{1}{1,07}\approx 0,934579439.
Calculo v^{n} para cada tecnologia:
  • Para Tipo A ( n_A=10): v^{10} \;=\; \frac{1}{1{,}07^{10}} \approx 0,508349.Logo 1 - v^{10} \approx 0,491651.
  • Para Tipo B ( n_B=11): v^{11} \;=\; \frac{1}{1{,}07^{11}} \approx 0,475093.Logo 1 - v^{11} \approx 0,524907.
(Expliquei os arredondamentos: usei valores com precisão suficiente para cálculos financeiros com duas casas decimais no final.)

Passo 5

Calculo agora o \text{VPL} para o Tipo A aplicando a fórmula
\text{VPL}_A \;=\; \frac{M_A}{r} \;+\; \frac{I_A + R_A\,v^{n_A}}{1 - v^{n_A}}.
Primeiro os termos separados:
  • \dfrac{M_A}{r} = \dfrac{\text{R\$}20.000}{0,07} = \text{R\$ }285.714,29.
  • R_A\,v^{n_A} = \text{R\$}50.000 \times 0,508349 \approx \text{R\$ }25.417,45.
  • I_A + R_A\,v^{n_A} = \text{R\$}100.000 + \text{R\$ }25.417,45 = \text{R\$ }125.417,45.
  • \dfrac{I_A + R_A\,v^{n_A}}{1 - v^{n_A}} = \dfrac{\text{R\$}125.417,45}{0,491651} \approx \text{R\$ }254.973,42.
Somando:
\text{VPL}_A \approx \text{R\$}285.714,29 + \text{R\$ }254.973,42 = \text{R\$ }540.687,71.
Também é útil o custo anual equivalente (EAC) para interpretar por ano:
\text{EAC}_A \;=\; r\cdot \text{VPL}_A \approx 0,07 \times 540.687,71 \approx \text{R\$ }37.848,14 \text{ por ano.}

Passo 6

Calculo agora o \text{VPL} para o Tipo B com a mesma fórmula:
\text{VPL}_B \;=\; \frac{M_B}{r} \;+\; \frac{I_B + R_B\,v^{n_B}}{1 - v^{n_B}}.
Termos separados:
  • \dfrac{M_B}{r} = \dfrac{\text{R\$}15.000}{0,07} = \text{R\$ }214.285,71.
  • R_B\,v^{n_B} = \text{R\$}40.000 \times 0,475093 \approx \text{R\$ }19.003,72.
  • I_B + R_B\,v^{n_B} = \text{R\$}140.000 + \text{R\$ }19.003,72 = \text{R\$ }159.003,72.
  • \dfrac{I_B + R_B\,v^{n_B}}{1 - v^{n_B}} = \dfrac{\text{R\$}159.003,72}{0,524907} \approx \text{R\$ }302.991,09.
Somando:
\text{VPL}_B \approx \text{R\$}214.285,71 + \text{R\$ }302.991,09 = \text{R\$ }517.276,80.
Custo anual equivalente:
\text{EAC}_B \;=\; r\cdot \text{VPL}_B \approx 0,07 \times 517.276,80 \approx \text{R\$ }36.209,38 \text{ por ano.}

Passo 7

Comparação e interpretação final (tudo com horizonte infinito e r=7\%):
  • \text{VPL}_A \approx \text{R\$ }540.687,71.
  • \text{VPL}_B \approx \text{R\$ }517.276,80.
Como estamos analisando custos (menor VPL = opção mais econômica ao longo do horizonte infinito), o Tipo B apresenta menor valor presente total e também menor custo anual equivalente ( \text{EAC}_B \approx \text{R\$}36.209,38 vs \text{EAC}_A \approx \text{R\$ }37.848,14). Portanto, economicamente, o Tipo B é a melhor escolha sob as premissas dadas.
Força aí — crises nas vésperas de prova acontecem, mas com esse passo a passo você pode reproduzir o raciocínio na prova: derive a fórmula do ciclo, calcule v^n, use a forma simplificada e compare VPLs (ou EACs) para decidir.

Resposta

\text{VPL}_A \approx \text{R\$ }540.687,71
\text{VPL}_B \approx \text{R\$ }517.276,80
Conclusão: escolher Tipo B (menor VPL).

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