Uma construtora ganhou uma concorrência em que deverá usar um certo equipamento por dois anos. O comprador encarregado de obter o equipamento está analisando duas propostas: Comprar ou alugar. O prazo de entrega para qualquer alternativa é de 60 dias e o custo do capital é de 4 \% ao mês. Para comprar o equipamento ele terá que pagar quatro parcelas de \ 50.000,00 - a primeira ao fazer o pedido, a segunda na entrega, a terceira quatro meses após o sinal inicial e a última após dois anos de uso. Se ele preferir alugar, seu custo será de 24 pagamentos iguais deóúóá$8.200,00$, sendo o primeiro 30 dias após o recebimento do equipamento. Após os dois anos, o equipamento é devolvido à empresa de leasing sem custo algum. Sem considerar os impactos da depreciação, no caso de compra e o da incidência do imposto de renda no caso de aluguel, qual a melhor opção para a empresa?

Passo 1

O enunciado dá duas alternativas (comprar ou alugar) para um equipamento que será usado por dois anos. Pergunta qual alternativa é financeiramente melhor, considerando taxa de juros de 4\% ao mês e prazos de pagamento. Dados relevantes (vou listar exatamente o que o enunciado fornece):
  • Taxa de juros mensal: \;i = 4\% = 0,04.
  • Prazo de entrega: 60 dias = 2 meses (assumimos meses de 30 dias).
  • Compra: quatro parcelas de \$\,50.000{,}00 nos instantes:
    • primeira no pedido \Rightarrow tempo t=0 meses,
    • segunda na entrega \Rightarrow t=2 meses,
    • terceira quatro meses após o sinal inicial \Rightarrow t=4 meses,
    • quarta após dois anos de uso. O uso começa na entrega, logo dois anos após entrega =24 meses depois da entrega \Rightarrow t=2+24=26 meses.
  • Aluguel: 24 pagamentos mensais iguais de \$\,8.200{,}00, sendo o primeiro 30 dias após o recebimento do equipamento. Como o equipamento é recebido em t=2 meses, o primeiro pagamento de aluguel ocorre em t=3 meses e o último em t=26 meses. Após dois anos o equipamento é devolvido sem custo.
  • Ignorar depreciação (no caso de compra) e imposto de renda (no caso de aluguel).
O que o enunciado pede: comparar economicamente (em valor presente) as duas alternativas e indicar a melhor opção.

Passo 2

Estratégia de resolução (sem complicar demais): vamos trazer todos os pagamentos ao valor presente em t=0 usando desconto com a taxa mensal \;i=0,04. A regra básica que vamos usar é a do valor presente (PV):
  • Para um pagamento único futuro \;F ocorrendo em n meses, o valor presente em t=0 é
PV = \frac{F}{(1+i)^{n}}.
Explicando: \;i é a taxa por período (aqui mês), n é o número de períodos até o pagamento. Dividir por (1+i)^n “traz” o dinheiro do futuro para hoje.
  • Para uma sequência de pagamentos iguais (anuidade) A por n períodos com o primeiro pagamento 1 período após o ponto de referência, a soma descontada (valor presente) é
PV_{\text{anuidade}} = A\cdot\frac{1 - (1+i)^{-n}}{i}.
Explicando: essa fórmula soma uma progressão geométrica descontada; A é o valor de cada parcela, n é o número de parcelas, i é a taxa por período. Se os pagamentos começam mais adiante (por exemplo, primeiro pagamento em k períodos), descontamos esse PV_{\text{anuidade}} por mais k-1 períodos: multiplicamos por (1+i)^{-(k-1)}.
Aplicaremos essas fórmulas ao caso da compra (pagamentos isolados em instantes diferentes) e ao aluguel (anuidade de 24 meses cujo primeiro pagamento é em t=3 meses; é conveniente avaliar o PV da anuidade em t=2 meses e então descontar 2 meses até t=0).

Passo 3

Cálculo do valor presente dos pagamentos da compra.
Pagamentos de compra (cada \$\,50.000{,}00) em t=0,2,4,26 meses. Usamos
PV_{\text{compra}} = 50.000 + \frac{50.000}{(1+0,04)^{2}} + \frac{50.000}{(1+0,04)^{4}} + \frac{50.000}{(1+0,04)^{26}}.
Agora vamos calcular os fatores (1+0,04)^{n} necessários (faço as potências e depois os recíprocos para desconto):
  • (1+0,04)^{2} = 1{,}04^{2} = 1{,}0816.
  • (1+0,04)^{4} = (1{,}0816)^{2} \approx 1{,}16985856.
  • (1+0,04)^{12} \approx 1{,}601032219 (calculo por iterações), então
(1+0,04)^{24} \approx (1{,}601032219)^{2} \approx 2{,}563303,
e
(1+0,04)^{26} = (1+0,04)^{24}\cdot(1+0,04)^{2} \approx 2{,}563303\cdot 1{,}0816 \approx 2{,}772469.
Agora os fatores de desconto (recíprocos):
(1+0,04)^{-2} \approx 0{,}924556,\qquad (1+0,04)^{-4} \approx 0{,}854804,\qquad (1+0,04)^{-26} \approx 0{,}360670.
Multiplicando cada parcela por seu fator:
  • Parcela em t=0: 50.000.
  • Parcela em t=2: 50.000\cdot 0{,}924556 \approx 46.227{,}80.
  • Parcela em t=4: 50.000\cdot 0{,}854804 \approx 42.740{,}20.
  • Parcela em t=26: 50.000\cdot 0{,}360670 \approx 18.033{,}50.
Somando:
PV_{\text{compra}} \approx 50.000 + 46.227{,}80 + 42.740{,}20 + 18.033{,}50 \approx 157.001{,}50.
Arredondando para valores monetários práticos:
PV_{\text{compra}} \approx \$\,157.002{,}00.

Passo 4

Cálculo do valor presente dos pagamentos do aluguel (anuidade de 24 pagamentos de \$\,8.200{,}00, primeiro em t=3 meses).
É mais limpo calcular o PV da anuidade no instante t=2 meses (logo antes do primeiro pagamento, que fica 1 mês depois) e depois descontar 2 meses até t=0. No instante t=2 a anuidade tem pagamentos mensais começando em 1 mês a partir de t=2, portanto a fórmula direta de anuidade cabe:
PV_{t=2} = 8.200\cdot \frac{1 - (1+0,04)^{-24}}{0,04}.
Explicando as variáveis: 8.200 é o valor da parcela mensal A, 24 é o número de parcelas n, e 0,04 é a taxa mensal i.
Calculemos (1+0,04)^{-24}. Já usamos antes que (1+0,04)^{24}\approx 2{,}563303, logo
(1+0,04)^{-24} \approx \frac{1}{2{,}563303} \approx 0{,}390073.
Então
1 - (1+0,04)^{-24} \approx 1 - 0{,}390073 = 0{,}609927.
Dividindo por i=0,04:
\frac{1 - (1+0,04)^{-24}}{0,04} \approx \frac{0{,}609927}{0,04} \approx 15{,}24817.
Multiplicando por A=8.200:
PV_{t=2} \approx 8.200\cdot 15{,}24817 \approx 125.035{,}00.
Agora trazemos este valor para t=0 descontando 2 meses:
PV_{\text{aluguel}} = PV_{t=2}\cdot(1+0,04)^{-2} \approx 125.035\cdot 0{,}924556 \approx 115.601{,}86.
Arredondando:
PV_{\text{aluguel}} \approx \$\,115.602{,}00.

Passo 5

Comparação e interpretação.
  • Valor presente da compra: \;PV_{\text{compra}} \approx \$\,157.002{,}00.
  • Valor presente do aluguel: \;PV_{\text{aluguel}} \approx \$\,115.602{,}00.
A opção com menor valor presente é financeiramente preferível. Neste caso:
PV_{\text{aluguel}} < PV_{\text{compra}},
logo alugar é mais barato. Diferença aproximada:
157.002 - 115.602 = 41.400.
Ou seja, alugar economiza cerca de \$\,41.400{,}00 em valor presente, considerando as hipóteses do enunciado (taxa de 4\% ao mês, início dos prazos conforme interpretação adotada).

Passo 6

Observações finais rápidas (úteis para prova): a técnica usada foi comparar valores presentes com a mesma data base ( t=0). Para pagamentos periódicos, a fórmula da anuidade é sua grande aliada; para pagamentos isolados use desconto simples \;PV = FV/(1+i)^n. Se os prazos iniciais tivessem sido diferentes, ajustaríamos os expoentes n conforme a distância em meses até cada pagamento.

Resposta

Alugar. Valor presente aproximado: compra \$\,157.002{,}00; aluguel \$\,115.602{,}00. Portanto alugar é melhor (economia ≈ \$\,41.400{,}00).

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