Uma construtora ganhou uma concorrência em que deverá usar um certo equipamento por dois anos. O comprador encarregado de obter o equipamento está analisando duas propostas: Comprar ou alugar. O prazo de entrega para qualquer alternativa é de 60 dias e o custo do capital é de
ao mês. Para comprar o equipamento ele terá que pagar quatro parcelas de
50.000,00
$8.200,00$, sendo o primeiro 30 dias após o recebimento do equipamento. Após os dois anos, o equipamento é devolvido à empresa de leasing sem custo algum. Sem considerar os impactos da depreciação, no caso de compra e o da incidência do imposto de renda no caso de aluguel, qual a melhor opção para a empresa?
Passo 1
O enunciado dá duas alternativas (comprar ou alugar) para um equipamento que será usado por dois anos. Pergunta qual alternativa é financeiramente melhor, considerando taxa de juros de
ao mês e prazos de pagamento. Dados relevantes (vou listar exatamente o que o enunciado fornece):
- Taxa de juros mensal:
. - Prazo de entrega:
dias meses (assumimos meses de dias). - Compra: quatro parcelas de
nos instantes: - primeira no pedido
tempo meses, - segunda na entrega
meses, - terceira quatro meses após o sinal inicial
meses, - quarta após dois anos de uso. O uso começa na entrega, logo dois anos após entrega
meses depois da entrega meses.
- primeira no pedido
- Aluguel:
pagamentos mensais iguais de , sendo o primeiro dias após o recebimento do equipamento. Como o equipamento é recebido em meses, o primeiro pagamento de aluguel ocorre em meses e o último em meses. Após dois anos o equipamento é devolvido sem custo. - Ignorar depreciação (no caso de compra) e imposto de renda (no caso de aluguel).
O que o enunciado pede: comparar economicamente (em valor presente) as duas alternativas e indicar a melhor opção.
Passo 2
Estratégia de resolução (sem complicar demais): vamos trazer todos os pagamentos ao valor presente em
usando desconto com a taxa mensal
. A regra básica que vamos usar é a do valor presente (PV):
- Para um pagamento único futuro
ocorrendo em meses, o valor presente em é
Explicando:
é a taxa por período (aqui mês),
é o número de períodos até o pagamento. Dividir por
“traz” o dinheiro do futuro para hoje.
- Para uma sequência de pagamentos iguais (anuidade)
por períodos com o primeiro pagamento 1 período após o ponto de referência, a soma descontada (valor presente) é
Explicando: essa fórmula soma uma progressão geométrica descontada;
é o valor de cada parcela,
é o número de parcelas,
é a taxa por período. Se os pagamentos começam mais adiante (por exemplo, primeiro pagamento em
períodos), descontamos esse
por mais
períodos: multiplicamos por
.
Aplicaremos essas fórmulas ao caso da compra (pagamentos isolados em instantes diferentes) e ao aluguel (anuidade de
meses cujo primeiro pagamento é em
meses; é conveniente avaliar o PV da anuidade em
meses e então descontar 2 meses até
).
Passo 3
Cálculo do valor presente dos pagamentos da compra.
Pagamentos de compra (cada
) em
meses. Usamos
Agora vamos calcular os fatores
necessários (faço as potências e depois os recíprocos para desconto):
-
-
-
(calculo por iterações), então
e
Agora os fatores de desconto (recíprocos):
Multiplicando cada parcela por seu fator:
- Parcela em
: . - Parcela em
: - Parcela em
: - Parcela em
:
Somando:
Arredondando para valores monetários práticos:
Passo 4
Cálculo do valor presente dos pagamentos do aluguel (anuidade de
pagamentos de
, primeiro em
meses).
É mais limpo calcular o PV da anuidade no instante
meses (logo antes do primeiro pagamento, que fica 1 mês depois) e depois descontar 2 meses até
. No instante
a anuidade tem pagamentos mensais começando em
mês a partir de
, portanto a fórmula direta de anuidade cabe:
Explicando as variáveis:
é o valor da parcela mensal
,
é o número de parcelas
, e
é a taxa mensal
.
Calculemos
. Já usamos antes que
, logo
Então
Dividindo por
:
Multiplicando por
:
Agora trazemos este valor para
descontando 2 meses:
Arredondando:
Passo 5
Comparação e interpretação.
- Valor presente da compra:
- Valor presente do aluguel:
A opção com menor valor presente é financeiramente preferível. Neste caso:
logo alugar é mais barato. Diferença aproximada:
Ou seja, alugar economiza cerca de
em valor presente, considerando as hipóteses do enunciado (taxa de
ao mês, início dos prazos conforme interpretação adotada).
Passo 6
Observações finais rápidas (úteis para prova): a técnica usada foi comparar valores presentes com a mesma data base (
). Para pagamentos periódicos, a fórmula da anuidade é sua grande aliada; para pagamentos isolados use desconto simples
. Se os prazos iniciais tivessem sido diferentes, ajustaríamos os expoentes
conforme a distância em meses até cada pagamento.
Resposta
Alugar. Valor presente aproximado: compra
; aluguel
. Portanto alugar é melhor (economia ≈
).