Questão 4: (2.5 pontos)
Considere a região no primeiro octante (isto é, x, y, z \geq 0 ) definida por
Q=\left\{(x, y, z) \mid 0 \leq z \leq \sqrt{x^{2}+y^{2}}, 1 \leq x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 4\right\}
Seja \Sigma a superfície definida como a parte da fronteira de Q sem o pedaço que pertence ao plano y=0. Calcule o fluxo \iint_{\Sigma} \vec{F} \cdot d \vec{S} do campo vetorial
\vec{F}=\left(x+y^{2}, y+z, x^{2}+z\right)
através da superfície \Sigma orientada com normal apontando para fora de Q.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o fluxo pela superfície \Sigma do campo \vec{F} com normal apontando para fora de Q. A superfície \Sigma é a fronteira de Q com exceção da parte que pertence ao plano y=0.
Informações dadas:
Q=\left\{(x,y,z)\mid x,y,z\ge 0,\;0\le z\le\sqrt{x^{2}+y^{2}},\;1\le x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 4\right\}.
O campo vetorial é
\vec{F}=\left(x+y^{2},\;y+z,\;x^{2}+z\right).
Observações úteis (listadas para não esquecer): \n
  • A região Q está no primeiro octante ( x,y,z\ge0). \n
  • A condição z\le\sqrt{x^{2}+y^{2}} define o interior do cone que faz \varphi\ge\pi/4 em coordenadas esféricas (veremos isso). \n
  • A região radial está entre as esferas \rho=1 e \rho=2. \n
  • A superfície pedida \Sigma é a fronteira fechada de Q menos o pedaço que está em y=0. Portanto podemos usar o Teorema da Divergência para obter o fluxo pela fronteira fechada de Q e subtrair o fluxo sobre a porção em y=0.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): vou aplicar o Teorema da Divergência (Gauss). Ele diz que o fluxo total do campo através da fronteira fechada de uma região V é igual à integral tripla do divergente do campo sobre V:
\iint_{\partial V}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\iiint_{V}\operatorname{div}\vec{F}\,dV.
Aqui V=Q. Como \Sigma é a fronteira de Q sem a parte em y=0, temos
\iint_{\Sigma}\vec{F}\cdot d\vec{S} = \iint_{\partial Q}\vec{F}\cdot d\vec{S} \;-\; \iint_{S_{y=0}}\vec{F}\cdot d\vec{S},
onde S_{y=0} é a porção da fronteira que fica em y=0. Pelo Teorema da Divergência,
\iint_{\partial Q}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\iiint_{Q}\operatorname{div}\vec{F}\,dV.
Logo vou calcular (1) \operatorname{div}\vec{F} e a integral tripla sobre Q e (2) a integral de superfície sobre S_{y=0}; depois subtraio.

Passo 3

Calcular o divergente e a integral tripla: primeiro o divergente do campo.
\operatorname{div}\vec{F}=\frac{\partial}{\partial x}(x+y^{2})+\frac{\partial}{\partial y}(y+z)+\frac{\partial}{\partial z}(x^{2}+z).
Cada derivada:
\frac{\partial}{\partial x}(x+y^{2})=1,\qquad \frac{\partial}{\partial y}(y+z)=1,\qquad \frac{\partial}{\partial z}(x^{2}+z)=1.
Portanto
\operatorname{div}\vec{F}=1+1+1=3.
Como o divergente é constante, a integral tripla fica 3 vezes o volume de Q:
\iiint_{Q}\operatorname{div}\vec{F}\,dV = 3\operatorname{Vol}(Q).

Passo 4

Calcular o volume de Q usando coordenadas esféricas (aqui vale a mini-aula sobre esféricas). Em coordenadas esféricas usuais usamos variáveis \rho (distância à origem), \varphi (ângulo desde o eixo z positivo) e \theta (ângulo no plano xy a partir do eixo x). As relações são
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi,
e o elemento de volume é
dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Agora interpretar as restrições de Q:
1\le x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 4 \quad\Longrightarrow\quad 1\le\rho^{2}\le 4 \quad\Longrightarrow\quad 1\le\rho\le 2.
A condição z\le\sqrt{x^{2}+y^{2}} equivale a
\rho\cos\varphi \le \rho\sin\varphi \quad\Longrightarrow\quad \cos\varphi\le\sin\varphi \quad\Longrightarrow\quad \tan\varphi\ge 1,
ou seja \varphi\ge \pi/4. Também estamos no primeiro octante, então x,y,z\ge0 implica \theta\in[0,\pi/2] e \varphi\in[0,\pi/2]. Combinando, \varphi\in[\pi/4,\pi/2].
Portanto os limites são
\rho\in[1,2],\qquad \varphi\in\left[\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{2}\right],\qquad \theta\in\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right].

Passo 5

Agora calcule o volume:
\operatorname{Vol}(Q) =\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{\varphi=\pi/4}^{\pi/2}\int_{\rho=1}^{2}\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Execute a integral em \rho:
\int_{1}^{2}\rho^{2}\,d\rho=\left.\frac{\rho^{3}}{3}\right|_{1}^{2}=\frac{8-1}{3}=\frac{7}{3}.
Então
\operatorname{Vol}(Q)=\frac{7}{3}\int_{0}^{\pi/2}d\theta\int_{\pi/4}^{\pi/2}\sin\varphi\,d\varphi.
A integral em \theta é \pi/2. A integral em \varphi é
\int_{\pi/4}^{\pi/2}\sin\varphi\,d\varphi = [-\cos\varphi]_{\pi/4}^{\pi/2} = -\cos\frac{\pi}{2} + \cos\frac{\pi}{4} = 0 + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}.
Assim
\operatorname{Vol}(Q)=\frac{7}{3}\cdot\frac{\pi}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{7\pi\sqrt{2}}{12}.
Portanto a integral tripla do divergente é
\iiint_{Q}\operatorname{div}\vec{F}\,dV = 3\cdot\frac{7\pi\sqrt{2}}{12} = \frac{7\pi\sqrt{2}}{4}.
Isto é o fluxo através de toda a fronteira fechada \partial Q.

Passo 6

Agora calculamos o fluxo através da porção da fronteira que está no plano y=0 (essa porção será subtraída). Primeiro descrevemos essa porção S_{y=0}: pontos (x,0,z) com x\ge0,z\ge0, z\le x (pois a condição z\le\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{x^{2}}=x quando y=0), e 1\le x^{2}+z^{2}\le 4. Assim, na coordenada do plano y=0 (plano xz), a região é um setor radial entre as circunferências de raio 1 e 2 e ângulo de 0 a \pi/4 (pois z\le x é a região abaixo da reta z=x, i.e. ângulo até \pi/4 medido a partir de x-positivo).
A normal unitária apontando para fora de Q na face y=0: como Q está em y\ge0, a direção exterior é para y<0, ou seja a normal unitária é
\vec{n}=(0,-1,0).
O produto escalar \vec{F}\cdot\vec{n} sobre y=0:
\vec{F}\cdot\vec{n}=(x+y^{2},\;y+z,\;x^{2}+z)\cdot(0,-1,0)=-(y+z).
Na face y=0 isto vale -(0+z)=-z. Portanto o fluxo através de S_{y=0} é
\iint_{S_{y=0}}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\iint_{R} -z\,dA,
onde R é a região no plano xz descrita acima e dA é o elemento de área plano dx\,dz.

Passo 7

Calcule a integral \iint_{R}-z\,dA. É conveniente usar coordenadas polares no plano xz: escrevemos
x=r\cos\alpha,\qquad z=r\sin\alpha,
com \alpha medido a partir do eixo x. As restrições dão r\in[1,2] e \alpha\in[0,\pi/4]. O elemento de área é dA=r\,dr\,d\alpha. Então
\iint_{R}-z\,dA = \int_{\alpha=0}^{\pi/4}\int_{r=1}^{2} -\big(r\sin\alpha\big)\, r\,dr\,d\alpha = -\int_{0}^{\pi/4}\sin\alpha\left(\int_{1}^{2} r^{2}\,dr\right)d\alpha.
Já calculamos \int_{1}^{2} r^{2}\,dr=\tfrac{7}{3}. Logo
\iint_{R}-z\,dA = -\frac{7}{3}\int_{0}^{\pi/4}\sin\alpha\,d\alpha = -\frac{7}{3}\left[-\cos\alpha\right]_{0}^{\pi/4} = -\frac{7}{3}\big(-\cos\tfrac{\pi}{4}+\cos 0\big).
Substituindo \cos\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt{2}}{2} e \cos 0=1,
\iint_{R}-z\,dA = -\frac{7}{3}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) = -\frac{7}{3}\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right).

Passo 8

Agora junte tudo. O fluxo total pela fronteira fechada é
\iint_{\partial Q}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\frac{7\pi\sqrt{2}}{4}.
O fluxo pela porção em y=0 é
\iint_{S_{y=0}}\vec{F}\cdot d\vec{S} = -\frac{7}{3}\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right).
Como \Sigma é a fronteira sem essa porção, o fluxo pedido é
\iint_{\Sigma}\vec{F}\cdot d\vec{S} = \iint_{\partial Q}\vec{F}\cdot d\vec{S} \;-\; \iint_{S_{y=0}}\vec{F}\cdot d\vec{S}.
Substituindo os valores:
\iint_{\Sigma}\vec{F}\cdot d\vec{S} = \frac{7\pi\sqrt{2}}{4} \;-\; \left(-\frac{7}{3}\Big(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\Big)\right) = \frac{7\pi\sqrt{2}}{4} + \frac{7}{3}\Big(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\Big).
Simplificando a expressão: combine os termos com \sqrt{2}
\frac{7\pi\sqrt{2}}{4} - \frac{7\sqrt{2}}{6} + \frac{7}{3} = 7\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\pi - \frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{1}{3}\right).
Colocando em uma fração comum dá a forma final
\iint_{\Sigma}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\frac{7}{12}\Big(\sqrt{2}(3\pi-2)+4\Big).

Resposta

\displaystyle \frac{7}{12}\Big(\sqrt{2}(3\pi-2)+4\Big)

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