Questão 4: (2.5 pontos)
Considere a região no primeiro octante (isto é, x, y, z \geq 0 ) definida por
Q=\left\{(x, y, z) \mid 0 \leq z \leq \sqrt{x^{2}+y^{2}}, 1 \leq x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 4\right\}
Seja \Sigma a superfície definida como a parte da fronteira de Q sem o pedaço que pertence ao plano y=0. Calcule o fluxo \iint_{\Sigma} \vec{F} \cdot d \vec{S} do campo vetorial
\vec{F}=\left(x+y^{2}, y+z, x^{2}+z\right)
através da superfície \Sigma orientada com normal apontando para fora de Q.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o fluxo pela superfície \Sigma do campo \vec{F} com normal apontando para fora de Q. A superfície \Sigma é a fronteira de Q com exceção da parte que pertence ao plano y=0.
Observações úteis (listadas para não esquecer): \n
A região Q está no primeiro octante (x,y,z\ge0). \n
A condição z\le\sqrt{x^{2}+y^{2}} define o interior do cone que faz \varphi\ge\pi/4 em coordenadas esféricas (veremos isso). \n
A região radial está entre as esferas \rho=1 e \rho=2. \n
A superfície pedida \Sigma é a fronteira fechada de Q menos o pedaço que está em y=0. Portanto podemos usar o Teorema da Divergência para obter o fluxo pela fronteira fechada de Q e subtrair o fluxo sobre a porção em y=0.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): vou aplicar o Teorema da Divergência (Gauss). Ele diz que o fluxo total do campo através da fronteira fechada de uma região V é igual à integral tripla do divergente do campo sobre V:
Calcular o volume de Q usando coordenadas esféricas (aqui vale a mini-aula sobre esféricas). Em coordenadas esféricas usuais usamos variáveis \rho (distância à origem), \varphi (ângulo desde o eixo z positivo) e \theta (ângulo no plano xy a partir do eixo x). As relações são
ou seja \varphi\ge \pi/4. Também estamos no primeiro octante, então x,y,z\ge0 implica \theta\in[0,\pi/2] e \varphi\in[0,\pi/2]. Combinando, \varphi\in[\pi/4,\pi/2].
Isto é o fluxo através de toda a fronteira fechada \partial Q.
Passo 6
Agora calculamos o fluxo através da porção da fronteira que está no plano y=0 (essa porção será subtraída). Primeiro descrevemos essa porção S_{y=0}: pontos (x,0,z) com x\ge0,z\ge0, z\le x (pois a condição z\le\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{x^{2}}=x quando y=0), e 1\le x^{2}+z^{2}\le 4. Assim, na coordenada do plano y=0 (plano xz), a região é um setor radial entre as circunferências de raio 1 e 2 e ângulo de 0 a \pi/4 (pois z\le x é a região abaixo da reta z=x, i.e. ângulo até \pi/4 medido a partir de x-positivo).
A normal unitária apontando para fora de Q na face y=0: como Q está em y\ge0, a direção exterior é para y<0, ou seja a normal unitária é