Questão 3: (2.5 pontos)
Considere uma curva suave
qualquer que conecta o ponto
ao ponto
. Calcule o trabalho
do campo vetorial
Considere uma curva suave
Passo 1
O enunciado dá uma curva suave
que conecta os pontos
e
. Dá também o campo vetorial
A pergunta é: calcular o trabalho
ou seja, o integral de linha de
ao longo de qualquer curva suave
que vá de
até
.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicando o porquê): se
for gradiente de alguma função escalar
(ou seja,
), então o integral de linha é independente do caminho e vale simplesmente
. Este é o teorema fundamental das integrais de linha: se
então
Portanto vou procurar uma função escalar
tal que
Se eu conseguir encontrar
, resolvo o problema avaliando
em
e em
.
Passo 3
Começo integrando a primeira componente para obter
. Como
integro em relação a
(tratando
como constantes):
porque
. Aqui
é a “constante” de integração que pode depender de
e
.
(Comentário didático: quando integramos
em
surge uma constante que pode depender das demais variáveis — por isso escrevemos
.)
Passo 4
Agora uso a segunda componente para determinar
. Calculo
a partir da expressão obtida:
Pelo enunciado essa derivada deve ser
. Igualando:
Cancela-se
dos dois lados e fica
Integro isso em
:
onde
é uma função que depende só de
.
(Comentário didático: ao integrar
em
aparece uma “constante” de integração que pode depender de
.)
Passo 5
Agora a função potencial candidata é
Uso a terceira componente para determinar
. Calculo
:
Pelo enunciado isso deve ser
. Igualando,
logo
Portanto
é constante; podemos escolher a constante
(não altera gradiente). Assim uma potencial conveniente é
Passo 6
Aplicando o teorema fundamental das integrais de linha (porque
), obtemos
Agora avalio
em
e
.
Para
:
, então
Para
:
, então
Passo 7
Portanto o trabalho é