Uma construtora utiliza três tipos de materiais: ferro ( F ), cimento ( C ) e tijolo ( T ) para construir dois tipos de casas (Padrão e Luxo). A matriz \underline{M} abaixo mostra a quantidade de cada material por tipo de casa, e o vetor \underset{\sim}{c} mostra o custo por unidade de cada material.
\underset{\sim}{M}=\left[\begin{array}{ccc} 20 & 100 & 2000 \\\\ 30 & 200 & 4000 \end{array}\right] \begin{gathered} \text { Padrão } \\\ \text { Luxo } \end{gathered}, \quad \underset{\sim}{c}=\left[\begin{array}{c} 50 \\\\ 25 \\\\ 2 \end{array}\right] \begin{gathered} \text { Ferro } \\\ \text { Cimento } \\\ \text { Tijolo } \end{gathered}ã
A primeira linha de \underline{M} se refere à casa Padrão, e as colunas se referem a \mathrm{F}, \mathrm{Ce} \mathrm{T}, respectivamente. Calcule o produto \underline{M} \cdot \underset{\sim}{c} e interprete o significado de cada elemento na matriz resultante.

Passo 1

O enunciado dá a matriz de quantidades de materiais por tipo de casa
\underline{M} = \begin{pmatrix} 20 & 100 & 2000\\\\ 30 & 200 & 4000 \end{pmatrix}
e o vetor de custos por unidade de material
\underset{\sim}{c} = \begin{pmatrix}50\\\ 25\\\ 2\end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é multiplicação de matriz por vetor para obter o custo total de materiais de cada tipo de casa.

Passo 2

A regra de multiplicação diz que cada componente do produto \underline{M}\cdot\underset{\sim}{c} é dado pelo somatório dos produtos dos elementos da linha de \underline{M} pelos correspondentes elementos de \underset{\sim}{c}, ou seja
(\underline{M}\cdot\underset{\sim}{c})_{i} =\sum_{j=1}^{3}M_{ij}\,c_{j}.

Passo 3

Calculamos a primeira componente (casa Padrão):
(\underline{M}\cdot\underset{\sim}{c})_{1} =20\cdot50 + 100\cdot25 + 2000\cdot2 =1000 + 2500 + 4000 =7500.

Passo 4

Calculamos a segunda componente (casa Luxo):
(\underline{M}\cdot\underset{\sim}{c})_{2} =30\cdot50 + 200\cdot25 + 4000\cdot2 =1500 + 5000 + 8000 =14500.

Passo 5

Interpretando o resultado, cada entrada do vetor \underline{M}\cdot\underset{\sim}{c} é o custo total dos materiais para construir uma casa do tipo correspondente: o primeiro valor para Padrão e o segundo para Luxo.

Resposta

\underline{M}\cdot\underset{\sim}{c} =\begin{pmatrix}7500\\\ 14500\end{pmatrix}.
O primeiro elemento 7500 é o custo total de materiais para uma casa Padrão, e o segundo 14500 é o custo total de materiais para uma casa Luxo.

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