Uma matriz \underset{\sim}{A} é dita antissimétrica se \underset{\sim}{A^{T}}=-\underset{\sim}{A}. Determine os valores de x, y, z para que a matriz \underset{\sim}{K}=\left[\begin{array}{ccc}0 & 5 & x \\\ y & 0 & -4 \\\\ 2 & z & 0\end{array}\right] seja antissimétrica.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
K = \begin{pmatrix} 0 & 5 & x\\\ y & 0 & -4\\\\ 2 & z & 0 \end{pmatrix}
e diz que ela deve ser antissimétrica, isto é,
K^{T} = -\,K.
Pela teoria, isso implica que todos os elementos da diagonal são zero (já é o caso) e que, para i\neq j,
a_{ij} = -\,a_{ji}.
Logo, basta igualar cada entrada fora da diagonal à negativa de sua transposta.

Passo 2

Compare a entrada (1,2) com a (2,1). Temos a_{12}=5 e a_{21}=y. A condição antissimétrica é
a_{12} = -\,a_{21} \quad\Longrightarrow\quad 5 = -\,y \quad\Longrightarrow\quad y = -5.

Passo 3

Compare a entrada (1,3) com a (3,1). Temos a_{13}=x e a_{31}=2. A condição é
a_{13} = -\,a_{31} \quad\Longrightarrow\quad x = -\,2 \quad\Longrightarrow\quad x = -2.

Passo 4

Compare a entrada (2,3) com a (3,2). Temos a_{23}=-4 e a_{32}=z. A condição é
a_{23} = -\,a_{32} \quad\Longrightarrow\quad -4 = -\,z \quad\Longrightarrow\quad z = 4.

Resposta

x = -2,\quad y = -5,\quad z = 4.

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