Exercício 18. Calcule os seguintes limites usando o teorema do confronto:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sqrt{x} e^{\operatorname{sen}(\pi / x)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to0^{+}}\sqrt{x}\,e^{\sin(\pi/x)}
usando o teorema do confronto. O conteúdo envolve limites, propriedades da função exponencial e uso do fato de que \sin(t) é limitado entre -1 e 1.

Passo 2

Sabemos que, para todo t\in\mathbb{R},
-1 \le \sin(t)\le 1.
Tomando t=\pi/x (para x>0) e aplicando a função exponencial, que é estritamente crescente, obtemos
e^{-1} \le e^{\sin(\pi/x)} \le e^1 = e.

Passo 3

Multiplicando toda a desigualdade acima por \sqrt{x}\ge0, vem
\sqrt{x}\,e^{-1} \le \sqrt{x}\,e^{\sin(\pi/x)} \le \sqrt{x}\,e.
Agora avaliamos os limites das funções extremas quando x\to0^+:
\lim_{x\to0^+}\sqrt{x}\,e^{-1} = e^{-1}\,\lim_{x\to0^+}\sqrt{x} = 0,
\lim_{x\to0^+}\sqrt{x}\,e = e\,\lim_{x\to0^+}\sqrt{x} = 0.

Passo 4

Como
\sqrt{x}\,e^{-1} \le \sqrt{x}\,e^{\sin(\pi/x)} \le \sqrt{x}\,e
e ambos os limites das extremas são 0, pelo teorema do confronto concluímos
\lim_{x\to0^{+}}\sqrt{x}\,e^{\sin(\pi/x)} = 0.

Resposta

0

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