Um consultor autônomo em informática presta serviços para uma empresa e estão trabalhando atualmente em dois grandes projetos: A e B . No projeto A ele recebe honarários de \mathrm{R} \ 35,00por hora e no projeto B ele recebe honorários de\mathrm{R} $50,00por hora. Para cada hora dedicada ao projeto A o consultor gasta 30 unidades de energia e no projeto B ele gasta 50 unidades de energia. O projeto A exige, no mínimo, 30 horas/mês e o projeto B exige, no mínimo, 20 horas/$ mês.
Sabendo que o consultor tem 70 horas/mês para se dedicar ao trabalho e um total de 2600 unidades de energia, elabore um programa linear que maximize os honorários recebidos mensalmente.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (peguei todos os números do enunciado).
O consultor trabalha em dois projetos: A e B.
Honorários por hora:
Projeto A: \mathrm{R}\$\,35 por hora.
Projeto B: \mathrm{R}\$\,50 por hora.
Consumo de energia por hora:
Projeto A: 30 unidades de energia por hora.
Projeto B: 50 unidades de energia por hora.
Restrições mínimas de horas por mês:
Projeto A exige no mínimo 30 horas/mês.
Projeto B exige no mínimo 20 horas/mês.
Tempo total disponível: 70 horas/mês.
Energia total disponível: 2600 unidades.
O enunciado pede: elaborar um programa linear que maximize os honorários mensais (ou seja, formular e resolver o problema de maximização).
Passo 2
Definição de variáveis (sempre comece por isso para não se perder):
Seja x o número de horas por mês dedicadas ao projeto A.
Seja y o número de horas por mês dedicadas ao projeto B.
Agora escrevemos a função objetivo (o que queremos maximizar). Os honorários totais Z em reais são a soma dos honorários de cada projeto:
Z = 35x + 50y.
Aqui 35 e 50 são os valores recebidos por hora nos projetos A e B, respectivamente; x e y são as horas trabalhadas em cada projeto.
Em seguida, traduzimos as restrições do enunciado em inequações lineares:
Limite de horas totais: cada hora vai para A ou B, então
x + y \le 70.
Limite de energia: consumo total não pode exceder 2600:
30x + 50y \le 2600.
Restrições mínimas de horas:
x \ge 30, \qquad y \ge 20.
E implicitamente x,y são não negativas (já coberto pelas mínimas, mas é bom lembrar):
x \ge 0,\qquad y \ge 0.
Portanto o programa linear está formulado como:
Maximizar \;Z = 35x + 50y sujeito a
\begin{cases} x + y \le 70,\\[4pt] 30x + 50y \le 2600,\\[4pt] x \ge 30,\\[4pt] y \ge 20. \end{cases}]
Passo 3
Estratégia de resolução (escolhi método gráfico/análise de vértices porque são duas variáveis — é o mais direto e fácil de justificar em prova). Regra importante em programação linear: o máximo de uma função linear em uma região poligonal convexa ocorre num vértice (canto) da região factível. Então vamos encontrar os vértices da região factível e avaliar Z neles.
As fronteiras relevantes (retas) são:
x + y = 70,
30x + 50y = 2600,
x = 30,
y = 20.
Os vértices possíveis são interseções dessas retas (desde que satisfaçam todas as restrições). Vou calcular cada interseção relevante, explicando passo a passo.
Passo 4
Interseção x=30 com y=20:
(x,y)=(30,20).
Verificação: 30+20=50\le70 e 30\cdot30+50\cdot20=900+1000=1900\le2600. Logo é um vértice factível.
Interseção x=30 com a reta de energia 30x+50y=2600. Substituo x=30:
Logo x = 70 - 25 = 45. Ponto (45,25). Verifico mínimos: 45\ge30 e 25\ge20, logo factível.
Interseção y=20 com x+y=70: x=50, ponto (50,20). Verificação de energia: 30\cdot50 + 50\cdot20 = 1500 + 1000 = 2500 \le 2600, então factível.
Observação: a interseção da reta de energia com y=20 daria x=\dfrac{1600}{30}\approx53{,}333, mas esse ponto tem x+y>70 (pois 53{,}333+20>70), portanto não é factível. Assim os vértices factíveis da região são, em ordem ao redor do polígono:
Agora avalio a função objetivo Z=35x+50y em cada vértice (faço as contas detalhadas):
Em (30,20):
Z = 35\cdot30 + 50\cdot20 = 1050 + 1000 = 2050.
Em (30,34):
Z = 35\cdot30 + 50\cdot34 = 1050 + 1700 = 2750.
Em (45,25):
Z = 35\cdot45 + 50\cdot25 = 1575 + 1250 = 2825.
Em (50,20):
Z = 35\cdot50 + 50\cdot20 = 1750 + 1000 = 2750.
Comparei os valores: 2050,\;2750,\;2825,\;2750. O maior é 2825 no ponto (45,25).
Passo 6
Interpretação e conclusão prática (como usar isso na prova): o ponto ótimo (x,y)=(45,25) significa que, para maximizar os honorários respeitando tempo, energia e mínimos exigidos, o consultor deve dedicar 45 horas ao projeto A e 25 horas ao projeto B. O ganho máximo mensal então é \mathrm{R}\$\,2825.
No processo acima: sempre defina variáveis, escreva objetivo e restrições, encontre vértices (interseções das fronteiras ativas) e calcule a função objetivo neles — o maior valor é a solução ótima. Isso é suficiente para duas variáveis sem usar ferramentas numéricas.
Resposta
Maximizar \;Z=35x+50y\) sujeito a
\[\begin{cases} x+y\le70,\\[4pt] 30x+50y\le2600,\\[4pt] x\ge30,\\[4pt] y\ge20. \end{cases}