Uma pequena manufatura produz dois modelos, Standard e Luxo, de um certo produto. Cada unidade do modelo Standard exige 1 hora de lixação e 1 hora de polimento. Cada unidade do modelo luxo exige 1 hora de lixação e 4 horas de polimento. A fábrica dispõe de 2 lixadoras e 3 polidoras, cada um trabalhando 40 horas semanais. As margens de lucro são
24,00
\mathrm{R} $34,00$, respectivamente, para cada unidade Standard e Luxo. Não existem restrições de demanda para ambos os modelos. Elabore um modelo de programação linear que permita calcular a produção semanal que maximiza a margem total de lucro do fabricante.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados do enunciado:
- Cada unidade do modelo Standard exige
hora de lixação e hora de polimento. - Cada unidade do modelo Luxo exige
hora de lixação e horas de polimento. - A fábrica dispõe de
lixadoras e polidoras. - Cada máquina (lixadora ou polidora) trabalha
horas por semana. - Margens de lucro: Standard
por unidade; Luxo por unidade. - Não existem restrições de demanda (ou seja, não há limite de vendas além das máquinas).
- Cada unidade do modelo Standard exige
-
O que o enunciado pede:
- Elaborar um modelo de programação linear que permita calcular a produção semanal que maximiza a margem total de lucro do fabricante.
Passo 2
Definir as variáveis de decisão (essas são as incógnitas que o modelo deve encontrar). Vou escolher variáveis com nomes descritivos para ficar fácil na prova:
- Seja
o número de unidades produzidas do modelo Standard por semana. - Seja
o número de unidades produzidas do modelo Luxo por semana.
Explicação pedagógica: variáveis de decisão representam escolhas controláveis — aqui, quantas unidades produzir de cada modelo. Em programação linear essas variáveis aparecem na função objetivo (o que queremos maximizar/minimizar) e nas restrições.
Passo 3
Montar a função objetivo (o que queremos maximizar). O lucro total semanal é a soma das margens de cada unidade multiplicadas pelas quantidades produzidas:
- Lucro por Standard:
por unidade contribui . - Lucro por Luxo:
por unidade contribui .
Logo a função objetivo (maximizar lucro total) é:
Explicação pedagógica: em problemas de maximização linear, soma-se (coeficiente)
(variável) para cada produto/atividade; os coeficientes são as margens unitárias de lucro.
Passo 4
Construir as restrições de capacidade a partir do uso das máquinas.
Primeiro calcular horas totais disponíveis:
- Horas totais de lixação:
lixadoras h/semana horas. - Horas totais de polimento:
polidoras h/semana horas.
Agora, expressar o consumo de horas por unidade produzida:
- Cada
consome hora de lixação e hora de polimento. - Cada
consome hora de lixação e horas de polimento.
Portanto as restrições são:
- Restrição de lixação (total consumido não pode exceder
horas):
(Simplificando)
- Restrição de polimento (total consumido não pode exceder
horas):
Explicação pedagógica: cada restrição soma o consumo de um recurso por unidade produzida (coeficiente) vezes a quantidade produzida; o lado direito é a capacidade disponível do recurso.
Passo 5
Impor a não negatividade (condição natural de produção):
Explicação pedagógica: não faz sentido produzir quantidade negativa; em programação linear isso é obrigatório para significar quantidades físicas.
Passo 6
Resumo e comentários sobre o modelo:
- O modelo é linear porque a função objetivo é uma combinação linear de
e e as restrições são inequações lineares. - Não há restrições de demanda, então as únicas limitações vêm das máquinas (lixação e polimento).
- Esse modelo já está pronto para ser resolvido por métodos de programação linear (por exemplo, método gráfico — útil com duas variáveis — ou Simplex se preferir uma abordagem algébrica).