Uma pequena manufatura produz dois modelos, Standard e Luxo, de um certo produto. Cada unidade do modelo Standard exige 1 hora de lixação e 1 hora de polimento. Cada unidade do modelo luxo exige 1 hora de lixação e 4 horas de polimento. A fábrica dispõe de 2 lixadoras e 3 polidoras, cada um trabalhando 40 horas semanais. As margens de lucro são \mathrm{R} \ 24,00 e\mathrm{R} $34,00$, respectivamente, para cada unidade Standard e Luxo. Não existem restrições de demanda para ambos os modelos. Elabore um modelo de programação linear que permita calcular a produção semanal que maximiza a margem total de lucro do fabricante.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • Cada unidade do modelo Standard exige 1 hora de lixação e 1 hora de polimento.
    • Cada unidade do modelo Luxo exige 1 hora de lixação e 4 horas de polimento.
    • A fábrica dispõe de 2 lixadoras e 3 polidoras.
    • Cada máquina (lixadora ou polidora) trabalha 40 horas por semana.
    • Margens de lucro: Standard = \mathrm{R}\$\,24{,}00 por unidade; Luxo = \mathrm{R}\$\,34{,}00 por unidade.
    • Não existem restrições de demanda (ou seja, não há limite de vendas além das máquinas).
  • O que o enunciado pede:
    • Elaborar um modelo de programação linear que permita calcular a produção semanal que maximiza a margem total de lucro do fabricante.

Passo 2

Definir as variáveis de decisão (essas são as incógnitas que o modelo deve encontrar). Vou escolher variáveis com nomes descritivos para ficar fácil na prova:
  • Seja x_S o número de unidades produzidas do modelo Standard por semana.
  • Seja x_L o número de unidades produzidas do modelo Luxo por semana.
Explicação pedagógica: variáveis de decisão representam escolhas controláveis — aqui, quantas unidades produzir de cada modelo. Em programação linear essas variáveis aparecem na função objetivo (o que queremos maximizar/minimizar) e nas restrições.

Passo 3

Montar a função objetivo (o que queremos maximizar). O lucro total semanal é a soma das margens de cada unidade multiplicadas pelas quantidades produzidas:
  • Lucro por Standard: \mathrm{R}\$\,24{,}00 por unidade \Rightarrow contribui 24\,x_S.
  • Lucro por Luxo: \mathrm{R}\$\,34{,}00 por unidade \Rightarrow contribui 34\,x_L.
Logo a função objetivo (maximizar lucro total) é:
\text{maximizar}\quad Z = 24\,x_S + 34\,x_L.
Explicação pedagógica: em problemas de maximização linear, soma-se (coeficiente) \times (variável) para cada produto/atividade; os coeficientes são as margens unitárias de lucro.

Passo 4

Construir as restrições de capacidade a partir do uso das máquinas.
Primeiro calcular horas totais disponíveis:
  • Horas totais de lixação: 2 lixadoras \times 40 h/semana = 80 horas.
  • Horas totais de polimento: 3 polidoras \times 40 h/semana = 120 horas.
Agora, expressar o consumo de horas por unidade produzida:
  • Cada x_S consome 1 hora de lixação e 1 hora de polimento.
  • Cada x_L consome 1 hora de lixação e 4 horas de polimento.
Portanto as restrições são:
  • Restrição de lixação (total consumido não pode exceder 80 horas):
1\cdot x_S + 1\cdot x_L \le 80.
(Simplificando)
x_S + x_L \le 80.
  • Restrição de polimento (total consumido não pode exceder 120 horas):
1\cdot x_S + 4\cdot x_L \le 120.
Explicação pedagógica: cada restrição soma o consumo de um recurso por unidade produzida (coeficiente) vezes a quantidade produzida; o lado direito é a capacidade disponível do recurso.

Passo 5

Impor a não negatividade (condição natural de produção):
x_S \ge 0,\qquad x_L \ge 0.
Explicação pedagógica: não faz sentido produzir quantidade negativa; em programação linear isso é obrigatório para significar quantidades físicas.

Passo 6

Resumo e comentários sobre o modelo:
  • O modelo é linear porque a função objetivo é uma combinação linear de x_S e x_L e as restrições são inequações lineares.
  • Não há restrições de demanda, então as únicas limitações vêm das máquinas (lixação e polimento).
  • Esse modelo já está pronto para ser resolvido por métodos de programação linear (por exemplo, método gráfico — útil com duas variáveis — ou Simplex se preferir uma abordagem algébrica).

Resposta

\text{maximizar}\quad Z = 24\,x_S + 34\,x_L
\text{sujeito a}\quad \begin{cases} x_S + x_L \le 80,\\[6pt] x_S + 4\,x_L \le 120,\\[6pt] x_S \ge 0,\\[4pt] x_L \ge 0. \end{cases}]

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