Escreva os programas lineares do Exercício 1 na forma padrão
\begin{array}{cc} \text { Minimizar } & c^{T} x \\\ \text { sujeito a } & A x=b \\\ & x \geq 0 \end{array}
e, nesse caso, identifique o vetor de custos c, a matriz de restrições A, o vetor das variáveis decisórias x e o vetor de requerimentos mínimos b.

Passo 1

O enunciado pede: escrever os programas lineares do “Exercício 1” na forma padrão
\begin{array}{cc} \text{Minimizar} & c^{T}x \\\ \text{sujeito a} & Ax=b \\\ & x \ge 0 \end{array}
e, nesse caso, identificar explicitamente c, A, x e b.
Informações fornecidas pelo enunciado recebido aqui: nenhuma — o texto do “Exercício 1” não foi enviado. Para transformar um programa linear específico em forma padrão é preciso conhecer o modelo original (objetivo, restrições e sinal das variáveis). Sem o enunciado do Exercício 1 não há dados concretos para produzir os vetores e a matriz pedida.

Passo 2

Como não foi enviado o Exercício 1, vou ensinar passo a passo o procedimento para transformar qualquer programa linear em forma padrão e como identificar c, A, x e b. Assim, quando você aplicar ao exercício real vai saber exatamente o que fazer — e vai poder conferir os vetores/matriz pedidas na prova.
Primeiro, qual é a forma padrão que queremos (já dada no enunciado):
\begin{array}{cc} \text{Minimizar} & c^{T}x \\\ \text{sujeito a} & Ax=b \\\ & x \ge 0 \end{array}
Nesta forma:
  • x é o vetor coluna de todas as variáveis decisórias (todas com restrição \ge 0).
  • c é o vetor coluna dos coeficientes do objetivo (o custo para cada variável).
  • A é a matriz cujas linhas representam as equações das restrições (coeficientes das variáveis em cada restrição).
  • b é o vetor coluna do lado direito de cada restrição (requerimentos).

Passo 3

Regra 1 — transformar maximização em minimização:
  • Se o problema original for \max \; z = p^{T}x, basta transformar para minimização usando \min \; (-p)^{T}x. Ou seja, multiplica-se os coeficientes do objetivo por -1.
  • Exemplo didático: \max\; 3x_1+5x_2 vira \min\; (-3)x_1 + (-5)x_2. Assim c = \begin{pmatrix}-3\\\ -5\end{pmatrix} antes de outras conversões.
Explicação curta do porquê: maximizar p^{T}x é equivalente a minimizar -p^{T}x.

Passo 4

Regra 2 — transformar desigualdades em igualdades (introduzindo variáveis auxiliares):
  • Para uma restrição do tipo \;a^{T}x \le b\; adicione uma variável folga (slack) s\ge0 e escreva a^{T}x + s = b.
  • Para uma restrição do tipo \;a^{T}x \ge b\; subtraia uma variável excedente (surplus) s\ge0 e escreva a^{T}x - s = b.
  • Observação: para iniciar o método simplex muitas vezes se adiciona também uma variável artificial a\ge0 em restrições com \ge (ou igualdade sem forma de base), mas a forma padrão pedida por você exige apenas equações e x\ge0; variáveis artificiais são um detalhe do algoritmo simplex (Fase I) e nem sempre entram no vetor x final pedido a não ser que se especifique.
Exemplo de uso:
  • 2x_1 + x_2 \le 100 vira 2x_1 + x_2 + s_1 = 100 com s_1\ge0.
  • x_1 + 2x_2 \ge 80 vira x_1 + 2x_2 - s_2 = 80 com s_2\ge0.

Passo 5

Regra 3 — variáveis livres (sem sinal definido) e variáveis que podem ser negativas:
  • Se uma variável y é livre (pode assumir valores positivos ou negativos), represente-a como diferença de duas variáveis não negativas:
y = y^+ - y^-, \qquad y^+\ge0,\; y^-\ge0.
  • Desta forma todas as variáveis que aparecem no vetor x na forma padrão são não negativas.
Exemplo: se x_1 é livre, ponha x_1 = x_1^+ - x_1^- e substitua nas restrições e no objetivo.

Passo 6

Regra 4 — sinal do lado direito b:
  • É conveniente (às vezes obrigatório para facilitar) que cada componente de b seja não negativa. Se uma equação tiver b<0, multiplique a equação inteira por -1; isso inverte o sinal dos coeficientes e troca \le por \ge previamente, mas depois de ter convertido as desigualdades para igualdade você ajusta conforme as regras anteriores.
  • Atenção ao efeito nas variáveis folga/excedente: ao multiplicar, a interpretação das variáveis auxiliares também muda.

Passo 7

Como montar A, x, b, c depois das conversões:
  • Liste todas as variáveis não negativas que aparecem nas equações depois das transformações (variáveis originais convertidas, slacks, surplus, artificiais se houver, e as partes y^+,y^- das variáveis livres). Essa lista, em uma ordem que você fixar, forma o vetor x.
  • Para cada restrição (agora uma igualdade) escreva a linha de coeficientes nessa ordem — isso forma a matriz A.
  • O vetor b é simplesmente o lado direito das igualdades (ordem correspondente às linhas).
  • O vetor c é formado pelos coeficientes do objetivo (na mesma ordem de x), lembrando que, se o problema original era de maximização, já o transformamos em minimização multiplicando por -1.
Dica prática: escolha e fixe uma ordem simples para as variáveis (por exemplo: primeiro todas as versões positivas x_i^+, depois negativas x_i^-, depois x originais não-livres, depois slacks, depois surplus, depois artificiais). Seja consistente — isso evita confusão ao montar A e c.

Passo 8

Exemplo completo e concreto (para ver tudo funcionando):
Considere o problema exemplo
\begin{aligned} \max\\ & z = 3x_1 + 5x_2 \\\ \text{s.t. } & 2x_1 + x_2 \le 100 \\\ & x_1 + 2x_2 \ge 80 \\\ & x_1\\ \text{livre},\quad x_2 \ge 0. \end{aligned}
Passo a passo:
  1. Transformar \max em \min:
\min\; (-3)x_1 + (-5)x_2.
  1. Tratar x_1 livre: escreva x_1 = x_1^+ - x_1^- com x_1^+,x_1^-\ge0.
  2. Introduzir variáveis auxiliares:
  • Para 2x_1+x_2\le100 adiciona s_1\ge0: 2x_1+x_2 + s_1 = 100.
  • Para x_1+2x_2\ge80 adiciona surplus s_2\ge0: x_1+2x_2 - s_2 = 80.
  1. Substituindo x_1 = x_1^+ - x_1^- e reorganizando, as duas equações viram:
\begin{aligned} 2(x_1^+ - x_1^-) + x_2 + s_1 &= 100,\\\ (x_1^+ - x_1^-) + 2x_2 - s_2 &= 80. \end{aligned}
  1. Escolhendo a ordem das variáveis como
x = \begin{pmatrix} x_1^+ \\\ x_1^- \\\ x_2 \\\ s_1 \\\ s_2 \end{pmatrix},\qquad x \ge 0,
o vetor b fica
b = \begin{pmatrix} 100 \\\\ 80 \end{pmatrix}.
  1. A matriz A (linhas = restrições, colunas = variáveis na ordem acima) é
A = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 1 & 1 & 0 \\\\ 1 & -1 & 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
  1. O vetor de custos c (lembrando que transformamos max em min, e substituímos x_1) é
c = \begin{pmatrix} -3 \\\\ +3 \\\\ -5 \\\\ 0 \\\\ 0 \end{pmatrix},
pois a função objetivo \min -3(x_1^+ - x_1^-) -5 x_2 resulta em coeficientes -3 para x_1^+, +3 para x_1^-, -5 para x_2, e zeros para s_1,s_2.
Resumo do exemplo em forma padrão:
\begin{array}{ll} \text{Minimizar} & c^{T}x \\ \text{com } c=\begin{pmatrix}-3\\\ 3\\\ -5\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} \\\ \text{sujeito a} & Ax=b,\\ \text{com } A=\begin{pmatrix}2 & -2 & 1 & 1 & 0 \\[4pt] 1 & -1 & 2 & 0 & -1\end{pmatrix},\\ b=\begin{pmatrix}100\\\ 80\end{pmatrix} \\\ & x=\begin{pmatrix}x_1^+\x_1^-\x_2\s_1\s_2\end{pmatrix}\ge0. \end{array}
Observações sobre o exemplo:
  • Note que apareceu coeficiente negativo em A (ex.: coluna de x_1^-). Isso é perfeitamente admissível: a restrição é uma igualdade linear e as variáveis são não negativas.
  • Se for necessário iniciar o simplex com uma base viável, normalmente se adicionaria uma variável artificial na segunda equação (já que um surplus sozinho não fornece uma variável básica com coeficiente +1 e coluna de base padrão). Mas isso é assunto de algoritmo; a forma padrão pedida consiste apenas em Ax=b e x\ge0.]

Passo 9

Como aplicar isso ao seu Exercício 1: pegue o enunciado do exercício (objetivo, todas as restrições, e indicação de quais variáveis são não-negativas ou livres). Em seguida:
  1. Transforme max em min, se necessário (multiplicando objetivo por -1).
  2. Para cada restrição do tipo \le adicione slack s\ge0; para cada \ge adicione surplus s\ge0 (e artificial se for necessário para o método).
  3. Substitua variáveis livres por diferença de duas não-negativas.
  4. Liste as variáveis na ordem que escolher; escreva as linhas das igualdades formando A e escreva b como os lados direitos; escreva c com os coeficientes do objetivo na mesma ordem.
Se quiser, cole aqui o enunciado do Exercício 1 (exatamente como veio) e eu faço essa transformação passo a passo para aquele caso específico — não vou te pedir nada além do enunciado, é só colar o texto/ restrições.

Resposta

Não é possível fornecer c, A, x e b específicos porque o enunciado do Exercício 1 não foi fornecido.

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