O consumidor de um certo produto acusou o fabricante, dizendo que mais de 20 % das unidades fabricadas apresentam defeito. Para confirmar sua acusação, ele usou uma amostra de tamanho 50, onde 27 % das peças eram defeituosas. A acusação do consumidor se evidencia com esta amostra, utilizando um nível de significância de 10 % ?

Passo 1

Então, vamos lá! Temos uma situação onde o consumidor está dizendo que mais de 20% dos produtos fabricados têm defeito. Para verificar isso, ele pegou uma amostra de 50 unidades e encontrou que 27% delas eram defeituosas. Nosso objetivo é descobrir se essa amostra realmente apoia a acusação do consumidor, usando um nível de significância de 10%. Vamos precisar aplicar testes de hipóteses para proporções aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses que vamos testar:
  • Hipótese Nula (H₀): A proporção de produtos defeituosos é igual ou menor que 20%, ou seja, .
  • Hipótese Alternativa (H₁): A proporção de produtos defeituosos é maior que 20%, ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos coletar os dados da amostra:
  • Tamanho da amostra ( ) = 50
  • Proporção observada de defeituosos ( ) = 27% = 0,27

Passo 4

Para realizar o teste, vamos usar a estatística do teste z para proporções, que é calculada pela fórmula:
z = p - p0raizp0 (1 - p0)n
onde:
  • = proporção observada
  • = proporção na hipótese nula
  • = tamanho da amostra

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula:
z = 0,27 - 0,20raiz0,20 times (1 - 0,20)50 = 0,07raiz0,1650 = 0,07raiz0,0032 = 0,070,0566 approx 1,235

Passo 6

Agora, vamos determinar o valor crítico para o nível de significância de 10% ( ) em um teste unilateral (já que a hipótese alternativa é ). Olhando na tabela z, o valor crítico corresponde a .

Passo 7

Comparamos o valor calculado de z com o valor crítico:
  • Se , rejeitamos a hipótese nula.
  • Se , não rejeitamos a hipótese nula.
No nosso caso, que é menor que 1,28.

Resposta

Como é menor que o valor crítico de 1,28, não rejeitamos a hipótese nula. Portanto, com um nível de significância de 10%, não há evidências suficientes para confirmar que mais de 20% das unidades fabricadas apresentam defeito.

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