O consumo de álcool é um dos grandes problemas que afetam a segurança no trânsito. Para evitar que motoristas embriagados ofereçam perigo aos pedestres e outros condutores, o Governo Brasileiro implantou o teste do bafômetro. Desde 2008, a chamada Lei Seca, operação de tolerância zero para motoristas alcoolizados, utiliza um aparelho específico para medir a concentração de álcool etílico no organismo. Em Recife o teste do bafômetro é obrigatório, 25 % dos motoristas têm o hábito de dirigir depois de beber. Quando testados, 99 % dos motoristas que beberam positivam para álcool. No entanto, 17 % dos motoristas que não bebem também positivam no bafômetro. Você é um agente da lei. Qual é a probabilidade de uma pessoa que positiva no bafômetro realmente ter feito uso de bebida alcoólica?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema. A gente está lidando com probabilidade aqui, especificamente com a situação de teste do bafômetro. A questão quer saber qual a chance de uma pessoa que testou positivo realmente ter consumido álcool. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre probabilidade condicional e aplicar o Teorema de Bayes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
  • Percentual de motoristas que dirigem após beber: 25% ou 0,25.
  • Percentual de verdadeiros positivos (quem bebeu e testou positivo): 99% ou 0,99.
  • Percentual de falsos positivos (quem não bebeu mas testou positivo): 17% ou 0,17.
Queremos encontrar a probabilidade de alguém ter bebido dado que testou positivo, ou seja, P(Bebeu | Positivo).

Passo 3

Para isso, vamos usar o Teorema de Bayes, que nos permite calcular probabilidades condicionais. A fórmula do Teorema de Bayes é:
P(A|B) = P(B|A) times P(A)P(B)
No nosso caso:
  • A é a pessoa ter bebido.
  • B é a pessoa ter testado positivo.
Então, precisamos calcular P(Positivo), que é a probabilidade total de testar positivo, considerando tanto os que beberam quanto os que não beberam.

Passo 4

Vamos calcular P(Positivo) usando a Regra da Probabilidade Total:
P(Positivo) = P(Positivo|Bebeu) times P(Bebeu) + P(Positivo|Não Bebeu) times P(Não Bebeu) ãã
Substituindo os valores que temos:
P(Positivo) = 0,99 times 0,25 + 0,17 times 0,75

Passo 5

Fazendo as contas:
P(Positivo) = 0,99 times 0,25 = 0,2475
0,17 times 0,75 = 0,1275
P(Positivo) = 0,2475 + 0,1275 = 0,375
Então, a probabilidade de testar positivo é 37,5%.

Passo 6

Agora, aplicando o Teorema de Bayes para encontrar P(Bebeu | Positivo):
P(Bebeu|Positivo) = P(Positivo|Bebeu) times P(Bebeu)P(Positivo) = 0,99 times 0,250,375

Passo 7

Calculando o numerador:
0,99 times 0,25 = 0,2475
Então:
P(Bebeu|Positivo) = 0,24750,375 = 0,66

Resposta

A probabilidade de uma pessoa que testou positivo no bafômetro realmente ter consumido bebida alcoólica é de 66%.

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